Stetig differenzierbare Abbildung, 1-Form

27.08.2016, 09:21	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetig differenzierbare Abbildung, 1-Form Ist die 1-Form $\begin{eqnarray} \omega(x,y)= \frac{-y}{x^2+y^2} dx + \frac{x}{x^2+y^2} dy \end{eqnarray}$ exakt? Im Skiptum steht: Versuchen wir eine Stammfunktion g zu finden. $\begin{eqnarray} \frac{\partial g}{\partial x}= - \frac{y}{x^2+y^2} \Rightarrow g(x,y)= arctan(\frac{y}{x}) + C(y) \end{eqnarray}$ was nicht $\begin{eqnarray} C^1(\mathbb{R}^2 \setminus \{0 ,0\}) \end{eqnarray}$ Frage: Warum ist die vorliegene Funktion $\begin{eqnarray} g(x,y)= arctan(\frac{y}{x}) + C(y) \end{eqnarray}$ nicht $\begin{eqnarray} C^1 \end{eqnarray}$ (stetig differenzierbar)? An was scheitert es? Wieso ist man sich sicher,dass wenn man weiterrechnet nicht eine $\begin{eqnarray} C^1 \end{eqnarray}$ Funktion erhält? LG, MaGI
27.08.2016, 09:48	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu einer Funktion gehört mehr, als eine Abbildungsvorschrift. Wenn das mal in die Köpfe reingehen würde, würden sich solche Fragen von selbst beantworten. Kann man für $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ den Definitionsbereich $\begin{eqnarray} \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\} \end{eqnarray}$ wählen?
29.08.2016, 07:52	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, Muss es für die Aufgabe unbedingt der gesamte Definitionsbereich sein oder muss die Funktion auch nur in $\begin{eqnarray} D:=\{(x,y)\| y \in \mathbb{R}, x \in \mathbb{R} \setminus 0 \} \end{eqnarray}$ C^1 sein? Die partiellen ABleitungen dazu: $\begin{eqnarray} \frac{\dd}{\dd y} \left[ \arctan\left( \frac{y}{x} \right) \right]= \frac{1}{1+\left( \frac{y}{x} \right)^2} \cdot \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \frac{\dd}{\dd x} \left[ \arctan\left( \frac{y}{x} \right) \right] =\frac{1}{1+\left( \frac{y}{x} \right)^2} \cdot \frac{-y}{x^2} \end{eqnarray}$ . ............................ Edit: Achso F muss den selben Definitionsbereich haben wie die 1-Form.(grade in der Definitions nachgelesen) Dann nehme ich meine Frage natürlich zurück! LG, MaGi

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