Ansatz DGL (Spezielle Lösung Bernoullische)

27.08.2016, 14:04

p3l4h0

Ansatz DGL (Spezielle Lösung Bernoullische)

Ich habe Probleme mit dem in der Lösung gegebenen Ansatz.
Wenn ich den habe ist das weitere vorgehen kein Problem aber wie komme ich auf den?
$\begin{eqnarray*} y'=-4xy-xy^2 \leftarrow \small{Bernoullische}\\y'+4xy+xy^2=0\\u(x)=(y(x))^{-1}\\u'(x)=4xu(x)+x \small{\ \ \ (2)}\\\small{Homogene:\ \ } u'(x)=4xu(x)\\ \int\frac{du}{u}=\int 4x\ dx\\u=c \cdot e^{2x^2}\\ \small{Speziell:\ \ }u_p(x)=a+bx,\ \ u'_p(x)=b\\ \small{in\ (2):\ }b-4x(a+bx)=x\\... \end{eqnarray*}$
ich hoffe mein Problem ist klar.

27.08.2016, 14:12

Mathema

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Wieso klammerst du nicht x aus trennst Variablen:

$\begin{eqnarray*} u'=4xu+x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'=x(4u+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd u}{\dd x}=x(4u+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd u}{4u+1}=x\dd x \end{eqnarray*}$

Rest für Dich.

27.08.2016, 14:35

p3l4h0

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mir war nicht richtig bewusst, dass es sich hier um eine Normale DGL handelt smile

so klappt es.

Klappt es also immer ohne Ansatz ?

Und gibt es bestimmte Ansätze die man sich z.B. einfach auf die Formelsammlung schreiben kann ?

danke

27.08.2016, 15:29

Mathema

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Zitat:

Klappt es also immer ohne Ansatz ?

Nein - man kann ja nicht immer trennen. Hier geht es eben. Ich sehe aber auch beim Ansatz kein Problem:

$\begin{eqnarray*} b-4ax-4bx^2=x \end{eqnarray*}$

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=-\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Somit:

$\begin{eqnarray*} u=ce^{2x^2}-\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Lösen wir meine Gleichung noch weiter sollte hoffentlich nicht was anderes rauskommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd u}{4u+1}=x\dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}\ln|4u+1|=\frac{1}{2}x^2+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln|4u+1|=2x^2+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4u+1=ce^{2x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4u=ce^{2x^2}-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=ce^{2x^2}-\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Tanzen

27.08.2016, 16:23

p3l4h0

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das habe ich auch hinbekommen.
Mein Problem liegt nur da, dass ich $\begin{eqnarray*} u_p(x)=a+bx \end{eqnarray*}$ nicht habe.
so komme ich auch nicht auf $\begin{eqnarray*} b-4x(a+bx)=x \end{eqnarray*}$
und so weiter smile

27.08.2016, 16:31

Mathema

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Zitat:

Mein Problem liegt nur da, dass ich $\begin{eqnarray*} u_p(x)=a+bx \end{eqnarray*}$ nicht habe.

Das verstehe ich nicht. Wie meinst du das?

27.08.2016, 16:52

p3l4h0

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die Gleichung aus Bernoulli:
$\begin{eqnarray*} u'(x)=4xu(x)+x \end{eqnarray*}$
Homogene Lösung mit bx=0
$\begin{eqnarray*} u'(x)=4xu(x) \rightarrow u=c \cdot e^{2x^2} \end{eqnarray*}$
Spezielle Lösung mit dem Ansatz $\begin{eqnarray*} u_p=a+bx \end{eqnarray*}$
woher ich den Ansatz bekomme weiß ich nicht, der in der Lösung einfach gegeben.
Hier würde ich mit dem Ansatz weitermachen können.
$\begin{eqnarray*} u'_p=b, \ \ b=4x(a+bx)+x \rightarrow ... \end{eqnarray*}$

27.08.2016, 16:55

Mathema

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Du entwickelst bis zum höchsten Exponenten deiner Störfunktion. Als Beispiel: Ist deine Störfunktion $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ lautet der passende Ansatz:

$\begin{eqnarray*} y_p=a+bx+cx^2+dx^3 \end{eqnarray*}$

Hier lautet deine Störfunktion x, also der Ansatz wie genannt.

27.08.2016, 17:00

p3l4h0

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das ist ja einfach, habe ich leider nur nirgends schwarz auf weiß gefunden.
Danke dir

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