Kugelkoordinaten Integrationsgrenzen

27.08.2016, 16:22	netscanner	Auf diesen Beitrag antworten »
Kugelkoordinaten Integrationsgrenzen Hallo zusammen! ich komme bei einer Kugelkoordinatenaufgabe nicht ganz weiter. Mir fehlt der Ansatz für die 2. Integrationsgrenze... Folgende Aufabe: Eine Fläche im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ist durch folgende Bereiche gegeben: $\begin{eqnarray} <br /> z>=0 <br /> x^2+y^2-z^2<=0<br /> x^2+y^2+z^2<=R^2<br /> R>0<br /> \end{eqnarray}$ Aufgrund der Angabe x^2+y^2+z^2<=R^2 wähle ich hier Kugelkoordinaten. Für den $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ wähle ich aufgrund z>=0 den Bereich 0 - PI/2 Für den Radius R würde ich den Bereich 0-R^2 wählen (Stimmt das noch bei R > 0 ?) Aber was wähle ich nun für den $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ Winkel? Aufgrund von $\begin{eqnarray} x^2+y^2-z^2<=0 => y<=sqrt(z^2-x^2) \end{eqnarray}$ würde ich hier den Bereich 0 bis $\begin{eqnarray} 2\pi - sqrt(\theta^2-R^2) \end{eqnarray*}$ wählen... Passt das so? Und wenn ja in welcher Reihenfolge ordne ich die Integrale dann am sinnvollsten an? Viele Grüße
27.08.2016, 16:50	netscanner	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachtrag Oder muss man das ganze erst in Kugelkoordinaten umwandeln? Wie würde man das dann hier für die 2. Ungleichung machen? Komme auf kein sinnvolles Ergebnis
27.08.2016, 18:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst: Deine drei Ungleichungen beschreiben keine Fläche, sondern ein Volumen. Setze die Kugelkoordinaten in $\begin{align} x^2+y^2-z^2 \leq 0 \end{align}$ ein, dann ergibt sich eine einfache Bedingung an $\begin{align} \theta \end{align}$ . Für $\begin{align} \varphi \end{align}$ gibt es hier gar keine Zusatzbedingung, was daran liegt, dass $\begin{align} x,y \end{align}$ hier nur im Verbund $\begin{align} x^2+y^2 \end{align}$ auftauchen.

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