Definitionsbereich und Äquivalenz

27.08.2016, 21:45

willyengland

Definitionsbereich und Äquivalenz

Angenommen, ich habe folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} x^2+\frac{x^2}{x} =0 \end{eqnarray*}$

Ich setze D = R \0, weil x im Nenner steht.

Nun kürze ich und erhalte:

$\begin{eqnarray*} x^2 + x = 0 \end{eqnarray*}$

In einem Heft, das ich lese, steht dazu nun, die Gleichungen sind nicht äquivalent, da die zweite die Null als zusätzliche Lösung hat.

Was ist aber, wenn ich den Definitionsbereich beibehalte?
Was zählt bei Äquivalenz? Der selbstgewählte oder der maximale Definitionsbereich?

27.08.2016, 22:43

MatheMB

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RE: Frage zu Definitionsbereich und Äquivalenz
Hallo,

eigentlich ist das sch...egal.

Wenn das eine Funktion f(x) = x^2+x^2/x wäre, hättest Du eine behebbare Definitionslücke, die niemanden interessiert.

Ein einzelner fehlender Punkt ändert kein Ergebnis bei Längen, Ableitungen, Integralen, etc. etc. etc.

Du kannst das ganze auch umgedreht machen:

g(x) = x = x*(x-1) / (x-1) = x(x-1)(x-2) / [(x-1)(x-2)] = .....

Auf diese Art kann man sich auch eine Menge unnützer und sinnloser Definitionslücken schaffen.

Grüße,
M.B.

27.08.2016, 23:23

HAL 9000

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@willyengland

Ich weiß jetzt nicht genau, worauf du hinauswillst... Präzise als Mengen geschrieben ist

$\begin{align*} \left\{ x\in\mathbb{R} \biggm| x^2 + \frac{x^2}{x} = 0 \right\} = \left\{ x\in\mathbb{R}\setminus\{0\} \biggm| x^2 + \frac{x^2}{x} = 0 \right\} = \left\{ x\in\mathbb{R}\setminus\{0\} \bigm| x^2 + x = 0 \right\} = \{-1\} \end{align*}$

$\begin{align*} \left\{ x\in\mathbb{R} \bigm| x^2 + x = 0 \right\} = \{0,-1\} \end{align*}$ .

28.08.2016, 08:48

willyengland

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich weiß jetzt nicht genau, worauf du hinauswillst...

Wenn ich für beide Gleichungen oben D = R \0 festlege, sind sie dann äquivalent oder nicht?

28.08.2016, 18:43

Mathema

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Guck noch mal bitte wie man den Definitionsbereich angibt - da gehören Mengenklammern hin. Am besten du benutzt Latex, das machst du sonst doch auch.

Äquivalent nennt man zwei Gleichungen, bei denen man die eine durch Äquivalenzumformungen in die andere umformen kann. Dazu gehört natürlich auch Termumformung, also z.B. Kürzen und Erweitern. Wenn du also bei der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2 + x = 0 \end{eqnarray*}$ den Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}=\mathbb{R} \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ hast, dann kannst du natürlich den Summanden $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ erweitern, dann sind deine Gleichungen identisch und somit äquivalent.

28.08.2016, 18:58

willyengland

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Ok, danke!

Und wenn bei beiden Gleichungen kein Definitionsbereich angegeben ist, dann sind sie nicht äquivalent, weil man dann üblicherweise den maximal möglichen Definitionsbereich annimmt, richtig?

28.08.2016, 19:12

Mathema

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Ja.

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