z, y', x''-Konvention - anschließende Drehung um z''

28.08.2016, 10:49

Jonas93

z, y', x''-Konvention - anschließende Drehung um z''

Hallo zusammen,

im Rahmen einer Abschlussarbeit beschäftige ich mich mit dem Arbeitsraum eines Industrieroboters. Die Orientierung (relativ zum Welt-KOS) des vom Roboter geführten Werkzeugs wird dabei durch drei Winkel A, B und C beschrieben.

A: Drehung um z-Achse
B: Drehung um neue y'-Achse
C: Drehung um neue x''-Achse

Diese Orientierung möchte ich dann um die neue z''-Achse drehen und dadurch eine neue erhalten, wobei z'' noch in die selbe Richtung zeigt, aber x'' und y'' jeweils verdreht. Jedoch komme ich nicht an die 'neuen' Drehwinkel, die zu einer solchen Orientierung führen.

Ich dachte eigentlich, dass ich ausreichend mit Transformationsmatrizen vertraut bin, aber hier stehe ich wirklich auf dem berühmten Schlauch..

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c} A_1 \\ B_1 \\ C_1 \end{array}\right) \to \end{eqnarray*}$ z''-Achse um $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gedreht $\begin{eqnarray*} \to \left(\begin{array}{c} A_2 \\ B_2 \\ C_2 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, man kann mich verstehen :P

Wäre für jeden Tipp sehr dankbar.

Viele Grüße
Jonas

28.08.2016, 13:27

Euklid93

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: z, y', x''-Konvention - anschließende Drehung um z''
Hallo Jonas93!

Wie meinst du das, dass du x'' und y'' verdrehen willst? sollen beide Achsen einfach in die andere Richtung zeigen? also praktisch eine 180-Grad-Drehung um die z''-Achse?

Euklid93

28.08.2016, 14:58

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: z, y', x''-Konvention - anschließende Drehung um z''

Zitat:

Original von Jonas93
Diese Orientierung möchte ich dann um die neue z''-Achse drehen und dadurch eine neue erhalten, wobei z'' noch in die selbe Richtung zeigt, aber x'' und y'' jeweils verdreht.

Die beiden Nachsätze irritieren mich etwas. Ich gehe mal davon aus, du willst jetzt einfach noch mal um die jetzt aktuelle z-Achse, von dir z'' genannt, drehen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c} A_1 \\ B_1 \\ C_1 \end{array}\right) \to \end{eqnarray*}$ z''-Achse um $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gedreht $\begin{eqnarray*} \to \left(\begin{array}{c} A_2 \\ B_2 \\ C_2 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

Ich verstehe das so, du suchst eine Drehung $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ um die z-Achse, eine nachfolgende Drehung $\begin{eqnarray*} B_2 \end{eqnarray*}$ um die neue y'-Achse und eine nachfolgende Drehung $\begin{eqnarray*} C_2 \end{eqnarray*}$ um die neue x''-Achse, die zu derselbe Orientierung führt, wie die oben von dir beschriebenen 4 aufeinanderfolgenden Drehungen $\begin{eqnarray*} A_1, B_1, C_1 \end{eqnarray*}$ + weitere Drehung um die aktuelle z''-Achse. Dabei sind die y'-Achse und x''-Achse jetzt natürliche im allgemeinen andere als bei den Drehungen $\begin{eqnarray*} A_1, B_1, C_1 \end{eqnarray*}$ .

Falls das richtig ist, ist die Sache doch einfach. Bilde aus den Drehmatrizen der 4 ursprünglichen Drehungen durch Multiplikation die Gesamtdrehmatrix. Aus ihren Einträgen lassen sich die Winkel für die Drehungen $\begin{eqnarray*} A_2, B_2, C_2 \end{eqnarray*}$ ermitteln.

28.08.2016, 15:15

Jonas93

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: z, y', x''-Konvention - anschließende Drehung um z''
Hallo Euklid93,

ja ich habe mir schon gedacht, dass ich mich da etwas unklar ausgedrückt habe.. sorry!

Ich möchte das KOS, wie es nach den drei Drehungen A_1 um z, B_1 um y', C_1 um x'' vorliegt, um die z''-Achse dieses Koordinatensystems drehen. Der Winkel soll dabei beliebig sein.

Und nun brauche ich irgendwie die Werte für drei Drehungen A_2, B_2 und C_2, die eben genau zu so einer um z'' gedrehten Orientierung führen.

Im oberen Fall 1 dreht man ja um z, dann um y', dann um x'' und dann um z''.
In Fall 2 will ich nur um z, y' und x'' drehen und trotzdem die gleiche Orientierung haben.

Ich weiß gerade nicht, wie es besser erklären könnte verwirrt

Danke auf jeden Fall für deine Antwort!!

28.08.2016, 15:17

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: z, y', x''-Konvention - anschließende Drehung um z''
Hast du meine Anwort gelesen?

28.08.2016, 15:22

Jonas93

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: z, y', x''-Konvention - anschließende Drehung um z''
Danke Huggy,

ja da war ich wohl etwas langsam;P

Gut ich weiß jetzt auf Anhieb nicht, wie ich die Drehungen ermitteln kann aber da lässt sich sicher was finden!

Vielen Dank erstmal smile

28.08.2016, 15:42

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: z, y', x''-Konvention - anschließende Drehung um z''
Sieh mal hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Winkel

und zwar den Abschnitt Gier-Nick-Roll: z, y', x''-Konvention. Da ist ja beschrieben. wie die Gesamtdrehmatix $\begin{eqnarray*} M_{GNR} \end{eqnarray*}$ aussieht, wenn sie aus 3 Normdrehungen entsteht. Wenn man nun eine beliebige Drehmatrix hat (bei dir das Produkt von 4 Drehmatrizen), und möchte sie aus 3 Normdrehungen zusammensetzen, dann sieht man, dass man den Winkel $\begin{eqnarray*} \Theta \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} M_{NGR,13} \end{eqnarray*}$ bestimmen kann. Da steht ja einfach - $\begin{eqnarray*} \sin \Theta \end{eqnarray*}$ . Hat man $\begin{eqnarray*} \Theta \end{eqnarray*}$ , kann man $\begin{eqnarray*} \Psi \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} M_{NGR,11} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} M_{NGR,12} \end{eqnarray*}$ bestimmen und $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} M_{NGR,23} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} M_{NGR,33} \end{eqnarray*}$ .

Auf den Sonderfall $\begin{eqnarray*} \Theta = \pi/2 \end{eqnarray*}$ wird im Abschnitt Mathematische Eigenschaften eingegangen.

28.08.2016, 18:29

Jonas93

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: z, y', x''-Konvention - anschließende Drehung um z''
Super, vielen Dank Huggy!!

Ich habe da mal ein kleines MATLAB-Skript geschrieben (siehe Anhang).
Irgendetwas habe ich noch übersehen. Wenn ich nur um z'' drehe (A1=B1=C1=0), geht der Winkel A2 für eine Schrittweite von 10° bis auf 180° aber dann wieder zurück bis auf 0°.

Muss ich da evtl. noch eine Fallunterscheidung machen?

Ist vllt. nur eine Kleinigkeit.

28.08.2016, 20:44

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: z, y', x''-Konvention - anschließende Drehung um z''
Bei der Anwendung der Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen sind häufig Klippen zu umschiffen. Das liegt daran, dass der Sinus und der Cosinus sich nicht auf dem gesamten Periodenintervall [0°, 360°) umkehren lassen. Der arccos liefert nur Winkel im Bereich [0°, 180°] zurück, der arcsin nur Winkel im Intervall [-90°, 90°].

Es ist

$\begin{eqnarray*} \cos (180-x)= \cos (180+x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin x =\sin (180-x) \end{eqnarray*}$

Bekommt man über den arccos einen Winkel von 170°, könnte der ursprüngliche Winkel auch 190° gewesen sein. Bekommt man nun über arcsin einen Winkel von -10°, so könnte der ursprüngliche Winkel auch 180° - (-10°) = 190 ° gewesen sein. Da in diesem Fall $\begin{eqnarray*} 170° \neq -10° \end{eqnarray*}$ , muss 190° der richtige Winkel gewesen sein.

Hätte man über den arccos 170° bekommen, über den arcsin aber 10°, so hätten die 10° auch von 180° - 10° =170° herrühren können. Dann wäre 170° der richtige Winkel gewesen.

Da man ausgehend von der Gesamtdrehmatrix den Winkel über beide der Umkehrfunktionen bestimmen kann und es zu jedem so erhaltenen Winkel gemäß obiger Beziehungen noch einen Alternativwinkel gibt, bekommt man insgesamt 4 mögliche Winkel, von den 2 übereinstimmen. Die übereinstimmenden Winkel ergeben den richtigen Winkel.

28.08.2016, 23:25

Jonas93

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: z, y', x''-Konvention - anschließende Drehung um z''
Es klappt!!

Ich kann immer nur wieder danke sagen/schreiben^^

Das hätte ich ohne deine Hilfe heute nicht mehr hinbekommen.

Übrigens herzlichen Glückwunsch zu deiner heute genau 8 jährigen Mitgliedschaft hier! Da habe ich noch was aufzuholen:P

Beste Grüße
Jonas

29.08.2016, 07:34

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: z, y', x''-Konvention - anschließende Drehung um z''
Vorsicht! Ich hatte noch etwas vergessen zu erwähnen. Bevor man die 4 Winkel auf Gleichheit überprüft, muss man sie in ein gemeinsames Periodenintervall bringen. Wählt man [0, 360°) als das gemeinsame Periodenintervall, so liegen beim arccos der Winkel und der Alternativwinkel schon in diesem Intervall und können unverändert bleiben. Beim arcsin liegt der Alternativwinkel in diesem Intervall und kann auch unverändert bleiben. Der Winkel selbst kann aber negativ sein, was nicht in diesem Intervall ist. In diesem Fall sind 360° zu dem Winkel zu addieren, um ihn in das Intervall zu bringen.

P.S. Danke für den Glückwunsch.

29.08.2016, 10:12

Jonas93

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: z, y', x''-Konvention - anschließende Drehung um z''
Genau das ist mir gestern beim Anpassen des Skripts auch aufgefallen. Hätte ich vllt. nochmal hier erwähnen können. (sorry)

Ich teste von den 4 Winkeln nun immer jeweils zwei auf Gleichheit, indem ich prüfe, ob der Betrag der Differenz 0° oder 360° ist.

Sicher nicht die beste Lösung, aber für meine Zwecke scheint das gut zu funktionieren!

Neue Frage »

Antworten »

z, y', x''-Konvention - anschließende Drehung um z''

Verwandte Themen