Volumen einer Halbkugel

28.08.2016, 17:46

cmplx96

Volumen einer Halbkugel

Hallo zusammen,

die Aufgabenstellung lautet, berechnen Sie das Volumen einer Halbkugel mit r=1.
Der Ansatz lautet:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \int_{}^{} \! \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} \, dy \, dx \end{eqnarray*}$
Meine Frage:
Wieso $\begin{eqnarray*} \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} \end{eqnarray*}$ ?
Kugelgleichungen haben doch die Gestalt $\begin{eqnarray*} (x-m)^{2}+(y-m)^{2}+(z-m)^{2} = r^{2} \end{eqnarray*}$ .
Danke im Voraus!

Edit: ich würde es natürlich in Polarkoordinaten transformieren, möchte aber auch den Ansatz verstehen.

28.08.2016, 17:55

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Volumen einer Halbkugel

Zitat:

Original von cmplx96
Hallo zusammen,

die Aufgabenstellung lautet, berechnen Sie das Volumen einer Halbkugel mit r=1.
Der Ansatz lautet:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \int_{}^{} \! \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} \, dy \, dx \end{eqnarray*}$
Meine Frage:
Wieso $\begin{eqnarray*} \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} \end{eqnarray*}$ ?
Kugelgleichungen haben doch die Gestalt $\begin{eqnarray*} (x-m)^{2}+(y-m)^{2}+(z-m)^{2} = r^{2} \end{eqnarray*}$ .
Danke im Voraus!

Edit: ich würde es natürlich in Polarkoordinaten transformieren, möchte aber auch den Ansatz verstehen.

mit r = 1 und m = 0 hast du z = ....

28.08.2016, 19:17

cmplx96

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort!
z = 1 ?

28.08.2016, 21:25

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von cmplx96
Danke für die Antwort!
z = 1 ?

wie oben steht

$\begin{eqnarray*} z=\sqrt{1-,,,} \end{eqnarray*}$

29.08.2016, 08:06

cmplx96

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, also für m=0 und r=1 gilt:
$\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \end{eqnarray*}$
umgestellt nach z:
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow z^{2}=1-x^{2}-y^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow z = \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} \end{eqnarray*}$ ?
Und man integriert über z weil es z = f(x,y) ist?

Neue Frage »

Antworten »

Volumen einer Halbkugel

Verwandte Themen