Gesetz der grossen Zahlen

29.08.2016, 15:08

Dukkha

Gesetz der grossen Zahlen

Hallo,

Ich verstehe ein Schritt der Lösung zur folgenden Aufgabe nicht:

Sei $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,\dots \end{eqnarray*}$ eine Folge von unabhängigen und identisch-verteilten Zufallsvariablen. Sei $\begin{eqnarray*} \bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n X_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{E}(X_1^2)<\infty \end{eqnarray*}$ . Beweisen sie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n (X_k-\bar{X}_n)^2\to \operatorname{Var}(X_1) \end{eqnarray*}$

In der Lösung steht nun folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n (X_k-\bar{X}_n)^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n X_k^2-2\bar{X}_n+\bar{X}_n^2 \end{eqnarray*}$

Weshalb stimmt der Ausdruck $\begin{eqnarray*} -2\bar{X}_n \end{eqnarray*}$ ? Wenn man ausmultipliziert, kriegt man doch den Ausdruck $\begin{eqnarray*} -2X_k\bar{X}_n=-2X_k\frac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^n X_j=-2\frac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^n X_kX_j \end{eqnarray*}$ ?

Vielen Dank für Eure Hilfe!

29.08.2016, 15:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dukkha
In der Lösung steht nun folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n (X_k-\bar{X}_n)^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n X_k^2-2\bar{X}_n+\bar{X}_n^2 \end{eqnarray*}$

Schau mal genau nach: Dort steht bestimmt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n (X_k-\bar{X}_n)^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n X_k^2-2\bar{X}_n^{{\color{red}2}}+\bar{X}_n^2 \end{eqnarray*}$ ,

wobei der vorletzte Term aus $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n (-2X_k\bar{X}_n) = -2\bar{X}_n\cdot \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n X_k = -2\bar{X}_n\cdot \bar{X}_n \end{eqnarray*}$ folgt.

29.08.2016, 18:52

Dukkha

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Zitat:

Original von HAL 9000
Schau mal genau nach: Dort steht bestimmt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n (X_k-\bar{X}_n)^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n X_k^2-2\bar{X}_n^{{\color{red}2}}+\bar{X}_n^2 \end{eqnarray*}$ ,

wobei der vorletzte Term aus $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n (-2X_k\bar{X}_n) = -2\bar{X}_n\cdot \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n X_k = -2\bar{X}_n\cdot \bar{X}_n \end{eqnarray*}$ folgt.

Hi HAL 9000,
Du hast recht, ich habe leider das $\begin{eqnarray*} { }^2 \end{eqnarray*}$ vergessen. Vielen Dank für deine Hilfe!

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