t-Verteilung, Integral, Substitution

29.08.2016, 19:06

StrunzMagi

t-Verteilung, Integral, Substitution

Hallo,
Wir haben die Studentsche t-Verteilung mittels der Dichte:
$\begin{eqnarray*} f(x) =\frac{ \Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n} \sqrt{\pi} *\Gamma(\frac{n}{2})} (1+\frac{x^2}{n})^{- \frac{n+1}{2}} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \ge 0, x\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert.

Wir haben gezeigt im Kurs, dass die t-Verteilung korrekt normiert ist.
Wie folgt aus dieser Tatsache, dass gilt $\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)^{\alpha}}= \sqrt{\frac{\pi}{2}} \frac{\Gamma( \alpha +1/2)}{\Gamma(\alpha)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha> 1/2 \end{eqnarray*}$

Hab ich da was falsch abgeschrieben oder komme ich nur nicht auf die richtige Subsitution?

$\begin{eqnarray*} 1= 2*\frac{ \Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n} \sqrt{\pi} *\Gamma(\frac{n}{2})} \int_0^{\infty} (1+\frac{x^2}{n})^{- \frac{n+1}{2}} dx = 2* \frac{ \Gamma(\frac{n+1}{2})}{ \sqrt{\pi} *\Gamma(\frac{n}{2})} \int_0^{\infty} (1+u^2)^{- \frac{n+1}{2}} du \end{eqnarray*}$
Mittels der Subsitution $\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{n}}=u, \frac{1}{\sqrt{n}} dx = du \end{eqnarray*}$
Wenn ich nun $\begin{eqnarray*} \alpha= \frac{n+1}{2} \end{eqnarray*}$ setze kommt heraus : $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{\pi} \Gamma(\alpha - \frac{1}{2})}{2 \Gamma(\alpha)}= \int_0^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)^{\alpha}} \end{eqnarray*}$
Das kann ich umformen: $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{\pi} \Gamma(\alpha + \frac{1}{2})}{(\alpha -\frac{1}{2})*2 *\Gamma(\alpha)}= \int_0^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)^{\alpha}} \end{eqnarray*}$

LG,
MaGi

29.08.2016, 21:32

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von StrunzMagi
Wir haben gezeigt im Kurs, dass die t-Verteilung korrekt normiert ist.
Wie folgt aus dieser Tatsache, dass gilt $\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)^{\alpha}}= \sqrt{\frac{\pi}{2}} \frac{\Gamma( \alpha +1/2)}{\Gamma(\alpha)} \end{eqnarray*}$

Ich hätte ja eher auf umgekehrte Kausalität getippt: Dass aus jenem Integralwert die korrekte Normiertheit der t-Dichte folgt. verwirrt

EDIT: Du hast hier

Zitat:

Original von StrunzMagi
Das kann ich umformen: $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{\pi} \Gamma(\alpha + \frac{1}{2})}{(\alpha -\frac{1}{2})*2 *\Gamma(\alpha)}= \int_0^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)^{\alpha}} \end{eqnarray*}$

richtig gerechnet, der Ergebniswert lässt sich unter Benutzung von $\begin{align*} \Gamma\left(\alpha+\frac{1}{2}\right) = \left(\alpha-\frac{1}{2}\right)\cdot \Gamma\left(\alpha-\frac{1}{2}\right) \end{align*}$ noch zu $\begin{align*} \frac{\sqrt{\pi}\cdot \Gamma\left(\alpha-\frac{1}{2}\right)}{2\Gamma(\alpha)} \end{align*}$ umformen. Die Behauptung

$\begin{align*} \int\limits_0^{\infty} \frac{\dd x}{(1+x^2)^{\alpha}} \stackrel{?}{=} \sqrt{\frac{\pi}{2}} \frac{\Gamma\left(\alpha+\frac{1}{2}\right)}{\Gamma(\alpha)} \end{align*}$

ist jedenfalls falsch, das sieht man schon am Spezialfall $\begin{align*} \alpha=1 \end{align*}$ : Da kommt links raus

$\begin{align*} \int\limits_0^{\infty} \frac{\dd x}{1+x^2} = \left[ \arctan(x)\right]_{x=0}^{\infty} = \frac{\pi}{2} \end{align*}$ ,

während rechts unter Benutzung von $\begin{align*} \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \end{align*}$ der Wert $\begin{align*} \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \end{align*}$ steht. unglücklich

30.08.2016, 10:23

StrunzMagi

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Überprüfung.
Würde mich wundern, wenn ich das so falsch abgeschrieben hätte..

Wir haben gezeigt $\begin{eqnarray*} X \sim \mathcal{N} (0,1), Y \sim \chi^2(n):=Gamma(\frac{n}{2}, \frac{1}{2}) \mbox{unabhängig} \Rightarrow \frac{X}{\sqrt{Y/n}} \sim \mbox{t-Verteilt}(n) \end{eqnarray*}$
Daraus haben wir geschlossen dass es sich wirklich um eine Dichte handelt.
LG,
MaGi

Neue Frage »

Antworten »

t-Verteilung, Integral, Substitution

Verwandte Themen