Varianz der Studentsche t-Verteilung

30.08.2016, 11:38	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Varianz der Studentsche t-Verteilung Hallo, Wir haben die Studentsche t-Verteilung mittels der Dichte: $\begin{eqnarray} f(x) =\frac{ \Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n} \sqrt{\pi} \Gamma(\frac{n}{2})} (1+\frac{x^2}{n})^{- \frac{n+1}{2}} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \ge 0, x\in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ definiert. Wir haben gezeigt $\begin{eqnarray} X \sim \mathcal{N} (0,1), Y \sim \chi^2(n):=Gamma(\frac{n}{2}, \frac{1}{2}) \mbox{unabhängig} \Rightarrow \frac{X}{\sqrt{Y/n}} \sim \mbox{t-Verteilt}(n) \end{eqnarray}$ Nun die Frage: Wie kommt man auf $\begin{eqnarray} Var(S)= \frac{n}{n-2}, n >2 \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} S \sim \mbox{t-Verteilt}(n) \end{eqnarray}$ Wir haben den Beweis in der Vorlesung skizziert, wollte das nun vollständnig aufschreiben/beweisen: $\begin{eqnarray} E(S^2)=E((\frac{X}{\sqrt{Y/n}})^2)=E(X^2)nE(1/Y) \end{eqnarray}$ Da wenn X und Y unabhängig sind auch $\begin{eqnarray} X^2,Y \end{eqnarray}$ unabhängig sind. Der Erwartungswert vom Produkt zweier unabhängigen Zufallsvariablen ist das Produkt der Erwartungswerte. Nun weiß ich aus einer anderen Übung, dass $\begin{eqnarray} E(X^2)=1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} X \sim \mathcal{N} (0,1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(1/Y)= \int_0^{\infty} \frac{1}{y} \frac{(\frac{1}{2})^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2})}* y^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}y} dy \end{eqnarray}$ Nun habe ich versucht, dass zu einer Gammafunktion zusammenzufassen: $\begin{eqnarray} =\frac{1}{\Gamma (\frac{n}{2})} \int_0^{\infty} (\frac{y}{2})^{\frac{n}{2}-2}* e^{-\frac{1}{2}y}* 2^{-2} dy=\frac{1}{\Gamma (\frac{n}{2})} \int_0^{\infty} (u)^{\frac{n}{2}-2}* e^{-u}* 2^{-1} dy \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u=\frac{y}{2} , \frac{1}{2} dy = du \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{\Gamma(n/2 -1)}{\Gamma(n/2)} \frac{1}{2}= \frac{\Gamma(\frac{n}{2}-1)}{\Gamma(\frac{n}{2}-1)(\frac{n}{2}-1)2} = \frac{1}{(n-2)} \end{eqnarray}$ Insgesamt habe ich $\begin{eqnarray} E(S^2)= 1n \frac{1}{n-2} \end{eqnarray*}$
30.08.2016, 16:42	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe es soeben gelöst und auch die Lösung editiert! LG, MaGI

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