Messbare Funktion und fast-sichere Konvergenz

30.08.2016, 13:29

Dukkha

Messbare Funktion und fast-sichere Konvergenz

Hallo zusammen,

Ich habe Mühe folgendes zu verstehen:

Beweisen oder widerlegen sie die folgende Aussage. Seien $\begin{eqnarray*} X,(X_n)_{n\geq 1} \end{eqnarray*}$ reelle Zufallsvariablen und $\begin{eqnarray*} g:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine messbare Funktion. Falls $\begin{eqnarray*} X_n\xrightarrow{f. s.}X \end{eqnarray*}$ , dann folgt daraus $\begin{eqnarray*} g(X_n)\xrightarrow{f. s.}g(X) \end{eqnarray*}$ .

In der Lösung steht:
Falsch. Sei $\begin{eqnarray*} X_n=1/n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g=1_{x>0} \end{eqnarray*}$ . Dann $\begin{eqnarray*} X_n\to 0 \end{eqnarray*}$ in Verteilung aber $\begin{eqnarray*} g(X_n)=1 \not\rightarrow 0 = g(0) \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht so recht, warum die Folge $\begin{eqnarray*} g(X_n) \end{eqnarray*}$ nicht gegen 0 konvergiert? Wenn die Funktion stetig wäre, dann wäre das der Fall?

30.08.2016, 14:09

Guppi12

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Hallo,

es ist doch $\begin{eqnarray*} g(X_n) \end{eqnarray*}$ konstant gleich $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , das steht direkt da. Ist deine Frage wirklich, warum die konstante Einsfolge nicht gegen die Nullfunktion konvergiert?

Zitat:

Wenn die Funktion stetig wäre, dann wäre das der Fall?

Falls du mit "die Funktion" $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ meinst, dann ja.

30.08.2016, 15:12

Dukkha

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Die Folge ist aber ja nur in $\begin{eqnarray*} \{x>0\} \end{eqnarray*}$ konstant $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und im Punkt $\begin{eqnarray*} g(0)=0 \end{eqnarray*}$ und da mein $\begin{eqnarray*} X_n\to 0 \end{eqnarray*}$ verstehe ich die Begründung nicht so recht.

30.08.2016, 15:15

Guppi12

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Es geht aber doch nicht um $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , sondern um $\begin{eqnarray*} g\circ X_n \end{eqnarray*}$ . Das scheinst du zu verwechseln. $\begin{eqnarray*} g\circ X_n \end{eqnarray*}$ ist konstant für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und zwar konstant $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . Der Wert $\begin{eqnarray*} g(0) \end{eqnarray*}$ interessiert überhaupt nicht, weil keines der $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ den Wert $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ als Funktionswert annimmt.

Stimmst du denn soweit zu, dass $\begin{eqnarray*} g(X_n) = 1 \end{eqnarray*}$ überall?

30.08.2016, 15:29

Dukkha

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Ja ich stimme zu, dass $\begin{eqnarray*} g(X_n)=1 \end{eqnarray*}$ überall, aber im Grenzwert geht doch $\begin{eqnarray*} X_n\to 0 \end{eqnarray*}$ und ich sehe die Begründung leider immer noch nicht so recht. Weshalb gilt es für eine stetige Funktion, aber nicht für eine messbare?

30.08.2016, 15:35

Guppi12

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Vergiss doch einfach mal, was $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ alleine machen. Setze $\begin{eqnarray*} f_n := g(X_n) \end{eqnarray*}$ und vergiss dann $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt doch ganz einfach $\begin{eqnarray*} f_n \equiv 1 \end{eqnarray*}$ und wogegen diese Funktionenfolge konvergiert ist doch sofort einsichtig oder nicht? Wenn du nicht wüsstest, wie sich $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ zusammensetzte, dann wäre das doch auch kein Problem. Es macht aber keinen Unterschied, wie sich $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ zusammensetzt, die Bausteine sind irrelevant, nur das letztendliche Produkt ist von Interesse.

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