Verteilung des Arithmetischen Mittels, Normalverteilung

30.08.2016, 14:54

StrunzMagi

Verteilung des Arithmetischen Mittels, Normalverteilung

Seien $\begin{eqnarray*} X_j \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) \end{eqnarray*}$ unabhängig.
Warum ist dann $\begin{eqnarray*} \overline{X}= \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n X_j \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2/n) \end{eqnarray*}$ ?

Hallo,
Ich weiß die Normalverteilung ist invariant unter Summation und die Varianzen und Erwartungswerte addieren sich.
Wenn ich aber berechne:
$\begin{eqnarray*} S:= \sum_{j=1}^n X_j \end{eqnarray*}$
Ich bezeichne mit f jeweils die Dichte.
$\begin{eqnarray*} f_{\frac{S}{N}}(x)= n*f_S (n*x)= n * \frac{1}{\sqrt{2\pi}*n*\sigma} *e^{\frac{(x*n- \mu*n)^2}{\sigma^2*n}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}*\sigma} *e^{n \frac{(x- \mu)^2}{\sigma^2}} \end{eqnarray*}$
Im Exponenten der e-Verteilung stimmt es, aber nicht im Vorfaktor? Wo ist der unterschlagene Term mit n?
LG,
MaGi

30.08.2016, 15:37

HAL 9000

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RE: Verteilung des Arithmetischen Mittels, Normalverteilung

Zitat:

Original von StrunzMagi
Ich weiß die Normalverteilung ist invariant unter Summation und die Varianzen und Erwartungswerte addieren sich.

Richtig, also ist $\begin{eqnarray*} S\sim \mathcal{N}(n\mu, n\sigma^2) = \mathcal{N}(n\mu, (\sqrt{n}\sigma)^2) \end{eqnarray*}$ . Damit lautet deine Rechnung aber

$\begin{eqnarray*} f_{\frac{S}{N}}(x)= n*f_S (n*x)= n * \frac{1}{\sqrt{2\pi}*\sqrt{n}*\sigma} *e^{\frac{(x*n- \mu*n)^2}{\sigma^2*n}} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2\pi}*\sigma} *e^{n \frac{(x- \mu)^2}{\sigma^2}} \end{eqnarray*}$ .

31.08.2016, 17:39

StrunzMagi

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Danke, dass hatte ich wohl falsch verstanden in der Normalverteilung!
Danke für die Aufklärung!

LG,
MaGi

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