"Schöne" Funktion gesucht

30.08.2016, 17:29

melianarana

"Schöne" Funktion gesucht

Hallo zusammen,

ich suche eine optisch möglichst ansprechende Funktion $\begin{eqnarray*} f: [0,1] \times [0, Y_{max}] \rightarrow [0, Y_{max}] \end{eqnarray*}$ , welche folgende Bedingungen erfüllen sollte:
$\begin{eqnarray*} <br /> f(x,y)\geq 0 \forall x, y , \quad \frac{\delta f}{\delta x} <0, \quad \frac{\delta f}{\delta y}>0, \quad \frac{\delta f^2}{\delta y \delta x} < 0 , \quad \frac{\delta f^2}{\delta x^2} >0, <br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \rightarrow 1} f(x,y) = 0, \quad \lim_{x \rightarrow 0} f(x,y) = y, \quad \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\delta f}{\delta x} =0<br /> \end{eqnarray*}$
und für ein $\begin{eqnarray*} \hat{x} \in [0,1] \end{eqnarray*}$ soll für alle y $\begin{eqnarray*} \frac{\delta f}{\delta x} (\hat{x}) =-1 \end{eqnarray*}$ gelten.

Ich weiß nun leider nicht, ob eine solche Funktion existiert. $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \min \{ \frac{y}{\sqrt{x}} - y, Y_{max}\} \end{eqnarray*}$ scheint alles bis auf den dritten Grenzwert und die Bedingung mit $\begin{eqnarray*} \hat{x} \end{eqnarray*}$ zu erfüllen, etwas besseres habe ich leider noch nicht gefunden. Ich bin also für alle Vorschläge sehr dankbar! smile

31.08.2016, 09:12

HAL 9000

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Für festes $\begin{align*} y \end{align*}$ würde mir bei

$\begin{align*} f(x,y)\geq 0,\quad \frac{\delta f}{\delta x} <0,\quad \frac{\delta f^2}{\delta x^2} >0,\quad \lim_{x \rightarrow 1} f(x,y) = 0, \quad \lim_{x \rightarrow 0} f(x,y) = y, \quad \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\delta f}{\delta x} =0 \end{align*}$

zunächst als allereinfachste Funktion $\begin{align*} f(x,y) = y(1-x)^2 \end{align*}$ einfallen. Sie erfüllt dann auch die anderen Bedingungen mit Ausnahme von

Zitat:

Original von melianarana
und für ein $\begin{eqnarray*} \hat{x} \in [0,1] \end{eqnarray*}$ soll für alle y $\begin{eqnarray*} \frac{\delta f}{\delta x} (\hat{x}) =-1 \end{eqnarray*}$ gelten.

Es ist mir momentan noch nicht klar, ob diese Bedingung im Zusammenhang mit den anderen überhaupt erfüllbar ist: Wenn überhaupt, dann sowieso allenfalls für $\begin{align*} \hat{x}=0 \end{align*}$ , das kann man relativ leicht nachweisen.

EDIT: Zumindest im Fall $\begin{align*} Y_{\max}>1 \end{align*}$ ist es nachweisbar unmöglich, eine solche Funktion zu finden.

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