Isomorphismen der Gruppe Z/nZ

30.08.2016, 20:06

Julia 004

Isomorphismen der Gruppe Z/nZ

Meine Frage:
Zu zeigen ist: Seien a,b \in Z mit a,b >=1 und ggT(a,b)=1.
Dann gilt: Z/(a.b)Z ist isomorph zu Z/aZ x Z/bZ.

Meine Ideen:
Ich hatte überlegt diese Aufgabe zunächst anhand eines Beispiels zu zeigen und wollte dafür Z/6Z ist isomorph zu Z/3Z x Z/2Z zeigen.
Allerdings finde ich keine geegnete Abbildung. Ein weiteres Problem ist, dass ich nicht weiß, ob es sich um eine additive, eine multiplikative oder... handelt.

Was ich z.B. probiert habe: Die Äquivalenzklassen von Z/3Z und Z/2Z zu addieren als auch zu multiplizieren. Problem in beiden Fällen kommt man nie auf die Äquivalenzklase von (5).

30.08.2016, 20:40

Mulder

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RE: Isomorphismen der Gruppe Z/nZ

Zitat:

Original von Julia 004
Ein weiteres Problem ist, dass ich nicht weiß, ob es sich um eine additive, eine multiplikative oder... handelt.

Additiv natürlich. Multiplikativ wäre Quatsch, denn die 0 (bzw. deren Äquivalenzklasse) ist ja ebenfalls enthalten. Die hat aber kein multiplikativ Inverses und du hättest keine Gruppe mehr.

Betrachte

$\begin{eqnarray*} F: \mathbb Z/(ab) \mathbb Z \to \mathbb Z /a \mathbb Z \times \mathbb Z/b \mathbb Z \quad , \quad [z]_{ab} \mapsto ([z]_a \times [z]_b) \end{eqnarray*}$

und weise nach:

i) Wohldefiniertheit
ii) Homomorphismuseigenschaft
iii) Injektivität (betrachte dazu einfach den Kern, hier wird ggT(a,b)=1 wichtig)
iv) Surjektivität, diese folgt jedoch unmittelbar aus iii) und Gleichmächtigkeit der beiden betrachteten Mengen

Ergibt zusammen, dass $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus ist und damit das Gewünschte.

Nachtrag: Zum besseren Verständnis der obigen Abbildung: Beim Beispiel $\begin{eqnarray*} a=2,b=3 \end{eqnarray*}$ würde die $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ abgebildet werden, denn $\begin{eqnarray*} 4 \mod 2 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 4 \mod 3 = 1 \end{eqnarray*}$ (alles als Äquivalenzklassen zu verstehen, wobei ich immer die kleinste nichtnegative Zahl als Repräsentanten gewählt habe, wie es üblich ist).

31.08.2016, 16:43

Julia 004

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Danke für deine Hilfe.
Ich hab allerdings noch ein paar Fragen.
1. Zeige ich die wohldeiniertheit indem ich zeige dass [z] auf das gleiche Element wie [z+abx], x \in Z abgebildet wird?
2. Bei den Homomorphieeigenschafeten muss ich ja nur zeigen dass f(a+b)=f(a)+f(b), das eine neutrales und ein inverses Element existiert, oder?
3. Für die Injektivität reicht es doch zu zeigen, dass nur das neutrale Element im Kern liegt also
[0] = 0+abx, oder?

31.08.2016, 17:24

Julia 004

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Nachtrag: Wann ist ein Homomorphismus ein Gruppenhomomorphismus? Bzw ist das das gleiche oder 2 unterscheidliche Dinge?

31.08.2016, 18:08

Mulder

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RE: Isomorphismen der Gruppe Z/nZ

Zitat:

Original von Julia 004
1. Zeige ich die wohldeiniertheit indem ich zeige dass [z] auf das gleiche Element wie [z+abx], x \in Z abgebildet wird?

Zu zeigen ist, dass das Bild einer Äquivalenzklasse unabhängig vom gewählten Repräsentanten ist. Also wenn $\begin{eqnarray*} [z]_{ab} = [z']_{ab} \end{eqnarray*}$ , dann ist auch $\begin{eqnarray*} [z']_a=[z]_a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [z']_b=[z]_b \end{eqnarray*}$ und damit die Bilder identisch.

Zitat:

Original von Julia 004
2. Bei den Homomorphieeigenschafeten muss ich ja nur zeigen dass f(a+b)=f(a)+f(b), das eine neutrales und ein inverses Element existiert, oder?

Zu zeigen ist nur die Strukturverträglichkeit, also $\begin{eqnarray*} f(a+b)=f(a)+f(b) \end{eqnarray*}$ . Was du mit "das eine neutrales und ein inverses Element existiert" meinst, weiß ich nicht.

Zitat:

Original von Julia 004
3. Für die Injektivität reicht es doch zu zeigen, dass nur das neutrale Element im Kern liegt also [0] = 0+abx, oder?

Ja.

Und wenn ich "Homomorphismus" schreibe, meine ich in diesem Zusammenhang natürlich einen Gruppenhomomorphismus, ja. "Homomorphismus" ist der Oberbegriff, wenn man so will. Wenn man mit Ringen hantiert, nennt man es eben einen Ringhomomorphismus, bei Gruppen analog Gruppenhomomorphismus, bei Vektorräumen ist ein Vektorraumhomomorphismus (auch Lineare Abbildung genannt) usw.

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