Konfidenzintervalle Exponentialverteilung

31.08.2016, 10:51

gamlastan

Konfidenzintervalle Exponentialverteilung

Hallo zusammen,

gegeben ist eine Exponentialverteilung, mit dem Mitttelwert µ. Wenn der durschnittliche Wert der Lebensdauer einer Batterie 42h beträgt und ich 12 BAtterien habe, soll das 95% zweiseitige, obere und untere Vertrauensintervall bestimmt werden. DIes geht laut Aufgabenstellung nur mit Taschenrechner und Tabelle.

Soweit so gut.
(i) zwei seitiges Intervall:
Aus der Vorlesung folgt mit $\begin{eqnarray*} b_{1} = F_{Y_{2n} } ^{-1} \left(\frac{\alpha }{2} \right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{2} = F_{Y_{2n} } ^{-1} \left(1-\frac{\alpha}{2} \right) \end{eqnarray*}$ .
Mit Tabelle: $\begin{eqnarray*} b_{2} \approx 23.337 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_{1} \approx 4.4038 \end{eqnarray*}$

und:
$\begin{eqnarray*} 1-\alpha = 0.95 = P\left(\frac{2n\bar{X}}{b_{2} } \leq \frac{1}{\lambda } \leq \frac{2n\bar{X}}{b_{1} } \right) \end{eqnarray*}$

Damit folgt für die Intervallgrenzen:
43.193 und 228.893

Die Grenzen kommen mir komisch vor.
Hinweis. Es war nur eine Tabelle für Chi2inv gegeben.

Kann mir jemand weiterhelfen?

31.08.2016, 11:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von gamlastan
Mit Tabelle: $\begin{eqnarray*} b_{2} \approx 23.337 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_{1} \approx 4.4038 \end{eqnarray*}$

Du hast bei den Quantilen für $\begin{align*} \chi^2_n=\chi^2_{12} \end{align*}$ statt richtigerweise bei denen für $\begin{align*} \chi^2_{2n}=\chi^2_{24} \end{align*}$ nachgeschaut...

Aber gut, dass du stutzig geworden bist: Dein Mittelwert 42h sollte natürlich im Konfidenzintervall liegen, und nicht (wie mit deinen falschen Quantilwerten) außerhalb. Augenzwinkern

31.08.2016, 14:07

gamlastan

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Hallo HAL,

ich bekomme für b1 und b2 nun 12.401 und 39.364.

das ergibt die Grenzen: 25.607 und 81.284. Der Mittelwert liegt dann im Intervall. Allerdings ist das Intervall ja ziemlich groß. Was bedeutet das? Und warum lese ich die Quantillen in der CHI Tabelle ab?

Könntest du desweiteren in meinem anderen Thread vorbei schauen? Danke!

31.08.2016, 14:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von gamlastan
Allerdings ist das Intervall ja ziemlich groß. Was bedeutet das?

Es bedeutet, dass 95% Sicherheit bei nur 12 Datenwerten eben ihren Preis haben. Wenn du ein kleineres Konfidenzintervall bei gleicher Sicherheit haben willst, brauchst du mehr Daten!

Zitat:

Original von gamlastan
Und warum lese ich die Quantillen in der CHI Tabelle ab?

Da muss man etwas ausholen:

Sind die $\begin{align*} X_i\sim \operatorname{Exp}(\lambda) \end{align*}$ , so ist $\begin{align*} n\bar{X} = \sum_{i=1}^n X_i \end{align*}$ erlang- bzw. gammaverteilt $\begin{align*} \operatorname{Erl}(\lambda,n) = \gamma(n,\lambda) \end{align*}$ , und nach Transformation (Multiplikation mit Konstante $\begin{align*} 2\lambda \end{align*}$ ) ist $\begin{align*} 2\lambda n\bar{X} \end{align*}$ dann gamma- bzw. chiquadratverteilt $\begin{align*} \gamma\left(n,\frac{1}{2}\right) = \chi^2_{2n} \end{align*}$ . Mit den Chiquadratquantilen $\begin{align*} b_1 = \chi^2_{2n,\frac{\alpha}{2}} \end{align*}$ und $\begin{align*} b_2 = \chi^2_{2n,1-\frac{\alpha}{2}} \end{align*}$ folgt dann

$\begin{align*} 1-\alpha = P(b_1 \leq 2\lambda n\bar{X} \leq b_2) \stackrel{!}{=} P\left(\frac{2n\bar{X}}{b_2} \leq \frac{1}{\lambda} \leq \frac{2n\bar{X}}{b_1}\right) \end{align*}$

d.h., das symmetrischen $\begin{align*} (1-\alpha) \end{align*}$ -Konfidenzintervall für $\begin{align*} \mu=\frac{1}{\lambda} \end{align*}$ ist dann tatsächlich dein $\begin{align*} \left[\frac{2n\bar{X}}{b_2}, \frac{2n\bar{X}}{b_1}\right] \end{align*}$ .

01.09.2016, 11:15

gamlastan

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Danke für die Ausführungen! Freude

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