Newtonverfahren nichtlineares GL-System

31.08.2016, 22:15

merrie

Newtonverfahren nichtlineares GL-System

Meine Frage:
Das nichtlineare GL-System
e^-x=e^-y+0.9
x*e^-x-y*e^-y=0
hat genau eine LSG. Bestimmen Sie diese näherungsweise mit dem Newton-Verfharen. Führen Sie bei Ihrer Rechnung mind. 6 Nachkommastellen mit und beenden Sie die Iteration, wenn sich die vierte Nachkommastelle nicht mehr ändert.

Meine Ideen:
Hallo zusammen,

oben ist die mir vorgegebene Aufgabenstellung. Ich komm auf keine LSG... Drei Lösungswege hab ich versucht und gerechnet, leider erfolglos. Ich sehe einfach nicht wo meine Fehler liegen und würde mich über Hilfestellung freuen.

Mein Vorgehen bisher:

f1(x,y)= e^-x-e^-y-0.9
f2(x,y)= x*e^-x-y*e^-y
Jacobi-Matrix =
11: -e^-x 12:e^-y
21: e^-x*(1-x) 22: -e^-y*(1-y)

Determinante: e^-x*e^-y*(x-y)

Inverse Jacobi-Matrix
11: -1/(e^-y*(x-y))
12: 1/(e^-x*(x-y))
21: (1-x)/(e^-y*(x-y))
22: -(1-y)/(e^-x*(x-y))

Nach ein paar Iterationsschritten bin ich schon im Tausender-Bereich und bekomme keine Näherungs-LSG. Hab auch mit ln gerechnet, leider erfolglos:
f1(x,y):
e^-x=e^-y+0.9__*ln
-x=ln(e^-y+0.9)

f2(x,y):
x*e^-x=y*e^-y__*ln
ln(x*e^-x)=ln(y*e^-y)
ln(x)+ln(e^-x)=ln(y)+ln(e^-y)
ln(x)+(-x)=ln(y)+(-y)

Für die Jacobi-Matrix muss ich f1(x,y) und f2(x,y) jew. ableiten, das ergibt:
Jf: 11= 1__Jf: 12= -(e^-y)/(e^-y+0.9)
Jf: 21= 1/x-1__Jf: 22=1-1/y

Daraus det und inverse Jacobi bestimmen und wieder rechnen. aber es kommen groooße Zahlen raus und nicht die laut einem schlauen Programm herausgegebene LSG 0,083814786/3,9321459493).

Danke
Marina

01.09.2016, 09:15

klarsoweit

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RE: Newtonverfahren nichtlineares GL-System

Zitat:

Original von merrie
Inverse Jacobi-Matrix
11: -1/(e^-y*(x-y))
12: 1/(e^-x*(x-y))
21: (1-x)/(e^-y*(x-y))
22: -(1-y)/(e^-x*(x-y))

Hier liegt der Hase im Pfeffer. Ausgehend von der Jacobi-Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -e^{-x} & e^{-y} \\ (1-x) \cdot e^{-x} & (y-1) \cdot e^{-y} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ erhalte ich als inverse Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{y-1}{(x-y) \cdot e^{-x}} & -\frac{1}{(x-y) \cdot e^{-x}} \\ \frac{x-1}{(x-y) \cdot e^{-y}} & -\frac{1}{(x-y) \cdot e^{-y}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du hast anscheinend zur Bildung der inversen Jacobi-Matrix die Jacobi-Matrix nur durch die Determinante dividiert. So geht das natürlich nicht. smile

01.09.2016, 20:06

merrie

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RE: Newtonverfahren nichtlineares GL-System
Freude

Oh lieber Gott vielen Dank!!! Danke klarsoweit!

Ich frag mich aber dann wie ich die Inverse bilde... denn das steht im Papula! Vllt komm ich auch selbst drauf, auf jeden Fall hab ich die Lösung!!!
Hammer

Wirklich vielen Dank!

Liebe Grüße
Marina

01.09.2016, 20:46

merrie

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RE: Newtonverfahren nichtlineares GL-System
Ok, ich hab die Erklärung gefunden smile

Danke

Marina

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