Allg. Lsg der DGL

31.08.2016, 23:42

p3l4h0

Allg. Lsg der DGL

Ich habe die DGL:
$\begin{eqnarray*} y''+4y=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq \pi \end{eqnarray*}$
die allgemeine Lösungsdarstellung ist:
$\begin{eqnarray*} y(x)= c_1 sin\ 2x + c_2 cos \ 2x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c_1, c_2 \in R \end{eqnarray*}$
Wie komme ich darauf ? es ist doch eine homogene DGL
mit den nullstellen von der Ableitung ?? $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\lambda_2=-\frac{a}{2}=2 \end{eqnarray*}$ also gilt:
$\begin{eqnarray*} y_0=(C_1 + C_2) \cdot e^{\lambda x}= (C_1 + C_2) \cdot e^{2x} \end{eqnarray*}$
Wie komme ich von da auf die allgemeine Lösung ?
danke

01.09.2016, 00:31

Helferlein

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Warum sollte 2 eine Lösung von $\begin{eqnarray*} x^2+4=0 \end{eqnarray*}$ sein? verwirrt

01.09.2016, 09:35

p3l4h0

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das weiß ich auch nicht in meiner Lösung ist es als allgemeine Lösung angegben.

01.09.2016, 13:25

HAL 9000

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Irgendwie hast du wohl Helferlein missverstanden: Das hier

Zitat:

Original von p3l4h0
die allgemeine Lösungsdarstellung ist:
$\begin{eqnarray*} y(x)= c_1 sin\ 2x + c_2 cos \ 2x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c_1, c_2 \in R \end{eqnarray*}$

mag wohl als allgemeine Lösung angegeben sein, und das ist ja auch richtig.

Seine Frage bezog sich darauf, warum du falscherweise $\begin{align*} \lambda_1 = \lambda_2 = 2 \end{align*}$ als Lösungen der charakteristischen Gleichung $\begin{align*} \lambda^2+4=0 \end{align*}$ betrachtest. unglücklich

01.09.2016, 13:31

Ehos

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Wie kommt man mit dem exponenziellen Ansatz $\begin{eqnarray*} e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ auf die Winkelfunktionen $\begin{eqnarray*} \cos(2x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(2x) \end{eqnarray*}$ ?
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Die beiden Lösungen des charakteritischen Polynoms $\begin{eqnarray*} \lambda ^2+4=0 \end{eqnarray*}$ sind rein imaginär und lauten $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\pm2i \end{eqnarray*}$ . Einsetzen in den Ansatz $\begin{eqnarray*} y=e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ liefert die allgemeine Lösung

$\begin{eqnarray*} y=C_1\cdot e^{+2ix}+C_2\cdot e^{-2ix} \end{eqnarray*}$

Darin sind die Konstanten $\begin{eqnarray*} C_1, C_2 \end{eqnarray*}$ sind frei wählbar. Oft will man reelle Lösungen. Wählt man als Konstanten speziell $\begin{eqnarray*} C_1=C_2=\tfrac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , ergibt sich eine gewünschte reelle Lösung

Wählt man dagegen für die Konstanten speziell $\begin{eqnarray*} C_1=+\tfrac{1}{2i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_2=-\tfrac{1}{2i} \end{eqnarray*}$ , ergibt sich eine andere reelle Lösung.

Edit (Helferlein): Komplettlösung verkürzt, da laut Boardprinzip nicht erwünscht.

01.09.2016, 19:53

p3l4h0

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danke das war es
ich hab es an dem abend nur echt geschafft mich mit der Nullstelle zu verrechnen smile

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