Konfidenzintervall schätzen

01.09.2016, 11:14

gamlastan

Konfidenzintervall schätzen

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe ist zu lösen.

An airline is intersted in determining the proportion of its customers who are flying for reasons of business. If they want to be 99 percent certain that their estimate will be correct to within 1 percent, how large a random sampl should they select?

Hinweis: Die Aufgabe kann mit Taschenrechner und Tabelle gelöst werden.

Kann mir jemand den Zusammenhang erklären?

Ich weiß nicht was ich machen soll..

Meine Ansicht:
Die 99% sind mein Intervall? Aber was bedeutet das mit den 1 Prozent?

Vielen Dank

01.09.2016, 11:25

HAL 9000

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Es geht darum, den unbekannten Anteil $\begin{align*} p \end{align*}$ an Business-Fluggästen zu ermitteln. Basierend auf der Punktschätzung $\begin{align*} \hat{p} \end{align*}$ soll dein 99%-Konfidenzintervall dann $\begin{align*} [\hat{p}-0.01,\hat{p}+0.01] \end{align*}$ (oder schmaler) sein - das ist mit den 1% gemeint.

Die dazu erforderliche Stichprobengröße $\begin{align*} n \end{align*}$ hängt zwar von $\begin{align*} p \end{align*}$ ab (was man vorher ja nicht kennt), man kann aber den worst-case betrachten.

01.09.2016, 11:52

gamlastan

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Ich bin doch dann wieder bei einem zweiseitigen (symetrischen) Intervall bzg der Normal Verteilung.

Dann müsste ich ja wiederum sagen können:
$\begin{eqnarray*} 1-\alpha = 0.99 = p\left(-\delta \leq \bar{X} - \mu\leq \delta\right) \end{eqnarray*}$

was sich umformen lässt zu
$\begin{eqnarray*} 0.99 = p\left(\bar{X}-\delta \leq \mu\leq \bar{X} +\delta\right) \end{eqnarray*}$

demnach ist $\begin{eqnarray*} \delta = \alpha =0.01 \end{eqnarray*}$

Und dann möchte ich wissen wie das $\begin{eqnarray*} \bar{X} \end{eqnarray*}$ ausieht?

01.09.2016, 12:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von gamlastan
Und dann möchte ich wissen wie das $\begin{eqnarray*} \bar{X} \end{eqnarray*}$ ausieht?

Verstehe die Frage nicht: $\begin{eqnarray*} \bar{X} \end{eqnarray*}$ ist der Stichprobenmittelwert, in unserem Fall der geschätzte Anteil der Businessfluggäste, der sich aus der Befragung ergibt.

01.09.2016, 12:26

gamlastan

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von gamlastan
Und dann möchte ich wissen wie das $\begin{eqnarray*} \bar{X} \end{eqnarray*}$ ausieht?

Verstehe die Frage nicht: $\begin{eqnarray*} \bar{X} \end{eqnarray*}$ ist der Stichprobenmittelwert, in unserem Fall der geschätzte Anteil der Businessfluggäste, der sich aus der Befragung ergibt.

ja und $\begin{eqnarray*} \bar{X} = p^{dach} \end{eqnarray*}$ möchte ich bestimmen?

Wollte mit der Frage nur wissen ob das p geschätzt aus deinem Beitrag das X bar ist...

01.09.2016, 12:37

HAL 9000

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Ach das. Ja, so ist es.

Grundsätzlich geht es darum

https://de.wikipedia.org/wiki/ Konfidenz...rt<br /> eilung

hier interessiert hauptsächlich der Abschnitt "Einfache Approximation durch die Normalverteilung".

EDIT: Hmm, war wieder der Link zu lang. Egal, du wirst das schon hinkriegen.

01.09.2016, 13:14

gamlastan

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Also von einer unbekannten Menge n an Passagiern möchte ich wissen, ob sie Businesspassagiere sind oder nicht. Das heißt es ist im Grunde eine Bernoulli Verteilung (entweder ja oder nnein).
Das heißt ich könnte davon ausgehen mein p geschätzt ist 1/2.

$\begin{eqnarray*} 1-\alpha = P\left(-\delta \leq \bar{X} - p\leq \delta\right) =* \end{eqnarray*}$

jetzt will ich eine Schätzung (da ich die Syntax für ^ nicht kenne benutze ich bar) $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ von p bestimmen.
Laut Vorlesung gilt
$\begin{eqnarray*} * = P\left(-\frac{\delta}{\sqrt{p(1-p)/n} } \leq \frac{\bar{X} - p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \leq \frac{\delta }{\sqrt{p(1-p)/n}} \right) \end{eqnarray*}$

was sich approximieren lässt zu:
$\begin{eqnarray*} 1-\alpha \approx 2\Phi\left(\frac{\delta}{\sqrt{p(1-p)/n} } \right) \approx 2\Phi\left(\frac{\delta}{\sqrt{\bar{x}(1-\bar{x})/n} } \right) \end{eqnarray*}$

mit Delta $\begin{eqnarray*} \delta \approx \frac{\sqrt{\bar{x}(1-\bar{x}} \Phi^{-1} \left(1-\frac{\alpha }{2} \right) }{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Wie komme ich dann weiter unbekannt sind n und x bar

01.09.2016, 14:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von gamlastan
mit Delta $\begin{eqnarray*} \delta \approx \frac{\sqrt{\bar{x}(1-\bar{x}} \Phi^{-1} \left(1-\frac{\alpha }{2} \right) }{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Wie komme ich dann weiter unbekannt sind n und x bar

Soweit erst mal Ok. Nun erstmal sammeln:

1) Klar ist n unbekannt - es ist ja hier das Ziel, ein passendes n zu ermitteln!

2) $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ist bekannt, nämlich per Forderung $\begin{eqnarray*} \delta=0.01 \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} \bar{x} = \hat{p} \end{eqnarray*}$ mag ja vorher nicht bekannt sein, aber für alle $\begin{eqnarray*} 0\leq \bar{x}\leq 1 \end{eqnarray*}$ gilt die Abschätzung $\begin{eqnarray*} \bar{x}(1-\bar{x}) \leq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ (das hatte ich vorhin mit "worst-case" gemeint). Augenzwinkern

Damit lässt sich ein n bestimmen, welches den Forderungen genügt!

01.09.2016, 14:45

gamlastan

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Damit lässt sich ein n bestimmen, welches den Forderungen genügt!

Woher kommt die Worstcase Abschätzung?

Mit dem Fall $\begin{eqnarray*} \sqrt{\bar{x}(1-\bar{x}} =1/4 \end{eqnarray*}$ und dem Wert 2.32635 aus der Tabelle für alpha = 0.01 kann ich n zu $\begin{eqnarray*} n = \left(\frac{\frac{1}{2} 2.32635}{0.01} \right)^{2} \approx 116.3175 = 117 \end{eqnarray*}$ bestimmen
Verstehe dann aber nicht warum das worts case ist. es gibt doch schließlich nur die Möglichkeit passagier ist Bussiness oder nicht und somit istt das doch eig gleichwahrscheinlich oder?

01.09.2016, 15:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von gamlastan
Mit dem Fall $\begin{eqnarray*} \sqrt{\bar{x}(1-\bar{x}} =1/4 \end{eqnarray*}$ und dem Wert 2.32635 aus der Tabelle für alpha = 0.01 kann ich n zu $\begin{eqnarray*} n = \left(\frac{\frac{1}{2} 2.32635}{0.01} \right)^{2} {\color{red}\approx} 116.3175 = 117 \end{eqnarray*}$ bestimmen

Anscheinend hast du an der Stelle das Quadrieren vergessen...

Zitat:

Original von gamlastan
Verstehe dann aber nicht warum das worts case ist.

Herrje... Nochmal ausführlichst: Die eigentliche Formel für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ hängt von $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ ab. Wenn du aber $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ nicht kennst, dann nimmst du (um sicher zu gehen) die Stichprobengröße, die für alle in Frage kommenden $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ ausreichend groß ist, also das Maximum. Und das basiert nun mal auf

$\begin{eqnarray*} \bar{x}(1-\bar{x}) = \frac{1}{4}-\left(\bar{x}-\frac{1}{2}\right)^2 \leq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ,

wobei das Maximum für $\begin{eqnarray*} \bar{x}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ erreicht wird (Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel).

01.09.2016, 15:08

gamlastan

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Ok, die wortscase Abschätzung beruht also auf der Parabel. Das wusste ich nicht...

Hammer

01.09.2016, 15:29

HAL 9000

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Und vergiss das Quadrieren nicht. Ist schon ein Unterschied, ob man 117 oder über 13000 Passagiere befragen muss. smile

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