Ordnung eines Elements

01.09.2016, 14:23

Julia 004

Ordnung eines Elements

Meine Frage:
Sei G eine Gruppe und x,y Element von G mit xy=yx und <x> $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ <y> = e
Z.z. ord (xy) = kgV (ord(x),ord(y))

Meine Ideen:
Für mich erscheint diese Aussage trivial. Suche ich mir beispielsweis 2 Elemente mit teilerfremder Ordnung wie ord(x)=7 und ord(y)= 5 dann gilt doch ord(xy)= 35= kgV (ord(x),ord(y)). Wählt man hingegen z.B. ord(x) = 4 und ord(y) =12. Folgt ord (xy) =12= 3x4= 12 =kgV (ord(x), ord(y)).
Ich verstehe nicht wie ich diese Aussage allgemein beweisen kann und was ich mit der Information <x> $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ <y> = e anfangen soll.

01.09.2016, 18:24

Elvis

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Das ist nicht trivial. Betrachte z.B. die $\begin{eqnarray*} S_3=\{<a,b>:a^3=b^2=e,ba=a^2b\} \end{eqnarray*}$ . Weder $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} ba \end{eqnarray*}$ haben hier die Ordnung 6.

01.09.2016, 18:51

Mulder

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Trivial finde ich das nicht unbedingt. Nur weil du dir ein paar Beispiele überlegst, in denen es möglicherweise passt, muss die Aussage noch lange nicht immer wahr sein. Die in der Aufgabenstellung mitgegebenen Voraussetzungen sind durchaus nicht zum Spaß dort. Sowas wie ord(xy) = kgV (ord(x),ord(y)) gilt längst nicht immer.

Ich würd's in zwei Schritten machen. Zeige:

$\begin{eqnarray*} i) \, \, \operatorname{ord}(xy) \leq \operatorname{kgV}(\operatorname{ord}(x),\operatorname{ord}(y)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ii) \, \, \operatorname{ord}(xy) \geq \operatorname{kgV}(\operatorname{ord}(x),\operatorname{ord}(y)) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt die Gleichheit.

Ansatz für i):

$\begin{eqnarray*} (xy)^{ \operatorname{kgV}(\operatorname{ord}(x),\operatorname{ord}(y))}= x^{ \operatorname{kgV}(\operatorname{ord}(x),\operatorname{ord}(y))} \cdot y^{ \operatorname{kgV}(\operatorname{ord}(x),\operatorname{ord}(y))} = \, ... \, \,= e \end{eqnarray*}$

Da fehlen noch ein paar Schritte, die seien dir überlassen. Augenzwinkern

Der $\begin{eqnarray*} \operatorname{kgV} \end{eqnarray*}$ ist auf jeden Fall ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \operatorname{ord}(x) \end{eqnarray*}$ und von $\begin{eqnarray*} \operatorname{ord}(y) \end{eqnarray*}$ , das kannst du benutzen (was bedeutet es formal, wenn eine Zahl ein Vielfaches einer anderen ist?).

Ansatz für ii):

Auf jeden Fall ist

$\begin{eqnarray*} (xy)^{\operatorname{ord(xy)}}=e \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} x^{\operatorname{ord(xy)}} = (y^{-1})^{\operatorname{ord(xy)}} \end{eqnarray*}$ .

Nutze nun, was du über den Schnitt von $\begin{eqnarray*} <x> \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} <y> \end{eqnarray*}$ weißt.

Beide Infos kann man dann mit ein bisschen elementarer Teilertheorie zusammenführen.

PS: Empfehlenswert wäre vermutlich, für das kgV- und ord-Gedöns neue Kürzel einzuführen vor dem Beweis, damit man das nicht immer wieder voll ausschrieben muss. Wird sonst schnell unübersichtlich, merke ich grade. Hier in dieser kurzen Skizze habe ich das noch überall gemacht, aber auf deinem Blatt würde ich es nicht empfehlen. Augenzwinkern

02.09.2016, 11:49

Julia 004

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i) habe ich denke ich verstanden und auch richtig gelöst aber bei
ii) hapert es noch etwas. Ich glaube, ich habe einfach noch nicht richtig verstanden was <x> bedeutet. Also x ist ja das Erzeugnis der Gruppe G oder? Ich weiß, was ein Erzeugnis in einem Vektorraum ist. Und dass, z. B. das Erzeugnis der Gruppe Z <1> und<-1> ist. Wäre hier <1> $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ <-1>= e oder nicht?

02.09.2016, 14:25

Elvis

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Für ein Element $\begin{eqnarray*} x\in G \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} <x>=\{x^n:n\in\mathbb N_0\}=\{x^0=e,x^1=x,x^2,...\}\le G \end{eqnarray*}$ die von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ erzeugte zyklische Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} <x> \end{eqnarray*}$ heißt auch das Erzeugnis von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ heißt ein erzeugendes Element von $\begin{eqnarray*} <x> \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} ord(x)=min\{n\in\mathbb N\cup \infty:x^n=e\} \end{eqnarray*}$ ist die Ordnung von $\begin{eqnarray*} <x> \end{eqnarray*}$ und die Ordnung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Tipp: Versuche niemals, eine Aufgabe zu lösen, bevor Du in ein Skript oder ein Buch geschaut hast.

02.09.2016, 17:02

Julia 004

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Vielen Dank schon mal.

Genau wie in der vorherigen Antwort <x> definiert wurde kann man jetzt doch auch <y> definieren: $\begin{eqnarray*} y\in G \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} <y>=\{y^m:m\in\mathbb N_0\}=\{y^0=e,y^1=y,y^2,...\}\le G \end{eqnarray*}$
Jetzt gilt <x> $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ <y> = e. Daraus folgt dass $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ x^i und y^j für i= 1,..,n und j=1,..,m gilt x^i $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ y^j. Die Untergruppen die durch<y> bzw. durch <x> erzeugt werden sind also disjunkt.
Daraus kann ich schließen, dass m $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ n ist, sprich die Ordnung von x und y unterschiedlich sind. Dass die Ordnung von x und y teilerfremd sind kann man aber nicht sagen oder?

Wenn m $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ n folgt (xy)^n $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ e und (xy)^m $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ e. Vorausgesetzt m und n sind keine Vielfachen voneinander. Aber (xy)^mn= e.
Allerdings suchen wir das Minimum z $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N s.d. (xy)^z= e. Somit gilt:
Man wähle a,b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N minimal, s.d. gilt z= an=bm -> (xy)^z=(x^z)(y^z)=(x^an)(y^bm)=ee=e.
Allerdings wäre das ja dann gleich dem kgV (ord(x),ord(y)).

Ich darf vermutlich einige Schritte nicht machen, finde aber meinen Fehler nicht.

02.09.2016, 17:50

Mulder

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RE: Ordnung eines Elements

Zitat:

Original von Julia 004
Daraus folgt dass $\begin{eqnarray*} \forall \end{eqnarray*}$ x^i und y^j für i= 1,..,n und j=1,..,m gilt x^i $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ y^j.

Nein, denn beide werden ja für geeignete i und j zum neutralen Element. Immer verschieden sind sie daher nicht. Das war auch nicht der Sinn des Ganzen.

$\begin{eqnarray*} x^{\operatorname{ord(xy)}} = (y^{-1})^{\operatorname{ord(xy)}} \end{eqnarray*}$

Die beiden Elemente entstammen unterschiedlichen Untergruppen, deren Schnitt nur das neutrale Element enthält. Bedeutet, da nix anderes übrig bleibt:

$\begin{eqnarray*} x^{\operatorname{ord(xy)}} = e \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} (y^{-1})^{\operatorname{ord(xy)}} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (y^{\operatorname{ord(xy)})^{-1}} =e \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} y^{\operatorname{ord(xy)}} =e \end{eqnarray*}$

Woraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{ord(x)} | \operatorname{ord(xy)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{ord(y)} | \operatorname{ord(xy)} \end{eqnarray*}$

Was lässt sich dann über $\begin{eqnarray*} \operatorname{kgV}(\operatorname{ord}(x),\operatorname{ord}(y)) \end{eqnarray*}$ sagen (hierzu gibt es einen Satz, den ihr vermutlich wohl mal hattet, als ihr euch mit elementaren Teilbarkeitsregeln befasst habt).

02.09.2016, 18:36

Julia 004

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Danke schön

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