Zentraler Grenzwertsatz für 2^n Variablen

01.09.2016, 18:54

Dukkha

Zentraler Grenzwertsatz für 2^n Variablen

Hallo,

Ich versuche die Lösung zur folgenden Aufgabe zu verstehen:

Sei $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ eine Verteilung auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit Varianz $\begin{eqnarray*} \sigma^2<\infty \end{eqnarray*}$ so dass wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ zwei unabhängige Zufallsvariablen mit Verteilung $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ sind, dann hat $\begin{eqnarray*} (X+Y)/\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ auch die Verteilung $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ . Zeigen sie mit dem zentralen Grenzwertsatz, dass $\begin{eqnarray*} \mu=\mathcal{N}(0,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ .

In der Lösung steht nun folgendes:
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Seien $\begin{eqnarray*} X,Y,X_1,X_2,\dots \end{eqnarray*}$ unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Verteilung $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ . Wir zeigen zuerst das $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ den Erwartungswert $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ hat
$\begin{eqnarray*} m=\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\sqrt{2}}(\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y])=\sqrt{2}m,\quad \text{somit } m=0 \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} S_{0,k}:=X_k,\ k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und für jedes $\begin{eqnarray*} k,n\in \mathbb{N},\ S_{n,k}:=(S_{n-1,2k-1}+S_{n-1,2k})/\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Durch Induktion über $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} S_{n,k}, k\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ u.i.v. mit Verteilung $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und der zentrale Grenzwertsatz sagt
$\begin{eqnarray*} S_{n,1}=\sqrt{2^n}\left(\frac{X_1+\cdots+X_{2^n}}{2^n}-2^nm\right)\to\mathcal{N}(0,\sigma^2) \end{eqnarray*}$
in Verteilung. Somit ist $\begin{eqnarray*} \mu=\mathcal{N}(0,\sigma^2) \end{eqnarray*}$

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Irgendwie wird hier der ZGWS auf $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ Variablen angewendet, aber ich verstehe nicht genau, wie $\begin{eqnarray*} S_{n,k} \end{eqnarray*}$ aussieht.

Ausserdem warum steht im ZGWS der Ausdruck $\begin{eqnarray*} (-2^nm) \end{eqnarray*}$ ?
Es gilt doch $\begin{eqnarray*} 1+2^1+2^2+2^3=1+2+4+8=15 \neq 2^3 \end{eqnarray*}$

Die Formel für den ZGWS ist doch $\begin{eqnarray*} P(\frac{S_n -nm}{\sqrt{n}\sigma}) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} nm \end{eqnarray*}$ für "Anzahl Variablen mal Erwartungswert" steht.

Und zu guter letzt, warum kann man von der Konvergenz der Folge auf die Verteilung von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ schliessen, weil es Linearkombinationen sind?

01.09.2016, 20:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dukkha
Irgendwie wird hier der ZGWS auf $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ Variablen angewendet, aber ich verstehe nicht genau, wie $\begin{eqnarray*} S_{n,k} \end{eqnarray*}$ aussieht.

Dann fang doch einfach mal an, basierend auf der Definition

Zitat:

Original von Dukkha
Sei $\begin{eqnarray*} S_{0,k}:=X_k,\ k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und für jedes $\begin{eqnarray*} k,n\in \mathbb{N},\ S_{n,k}:=(S_{n-1,2k-1}+S_{n-1,2k})/\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

dir das für kleine $\begin{eqnarray*} n=1,2,3,\ldots \end{eqnarray*}$ mal aufzuschreiben, bis du das Prinzip begreifst! Also

$\begin{eqnarray*} S_{1,k} := \frac{S_{0,2k-1}+S_{0,2k}}{\sqrt{2}} = \frac{X_{2k-1}+X_{2k}}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_{2,k} := \frac{S_{1,2k-1}+S_{1,2k}}{\sqrt{2}} = \frac{\frac{X_{4k-3}+X_{4k-2}}{\sqrt{2}}+\frac{X_{4k-1}+X_{4k}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = \frac{X_{4k-3}+X_{4k-2}+X_{4k-1}+X_{4k}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_{3,k} := \frac{S_{2,2k-1}+S_{2,2k}}{\sqrt{2}} = \ldots = \frac{X_{8k-7}+X_{8k-6}+X_{8k-5}+X_{8k-4}+X_{8k-3}+X_{8k-2}+X_{8k-1}+X_{8k}}{2\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

usw.

Dann erkennst du vielleicht auch irgendwann, warum $\begin{eqnarray*} S_{n,k} \end{eqnarray*}$ im Zähler genau $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ aufeinanderfolgende $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ enthält...

01.09.2016, 21:36

Dukkha

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Hi HAL 9000,

Vielen Dank für Deine Hilfe. Ich hatte es mir aufgeschrieben, allerdings auch mit verschiedenem $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und das hat mich verwirrt. Jetzt verstehe ich es. Danke vielmals.

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