Exponentialverteilt/ Poissonverteilt/Lebensdauer

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StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialverteilt/ Poissonverteilt/Lebensdauer
Die Lebensdauer (in Jahren) eines Brandmelders sei exponentialverteilt. Die Anzahl der pro Jahr auftretenden Auslöseereignisse sei poissonverteilt. Beide Zufallsvariablen werden als unabhängig angenommen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Brandmelder während seiner ganzen Lebensdauer nie anspricht? (Hinweis: Verwende die gemeinsame Dichte)

Hallo,



.. WS bis zum Zeitpunkt t keinen Auslöser

Ich verstehe nicht welche gemeinsame Dichte ich mir anschauen soll, da Y ja diskret ist und somit ich keine Dichte habe.
Idee war mir vlt eine neue Zufallsvariable E anzuschauen, die die Zeit bis zum ersten Auslöser beschreibt.
So wäre nämlich die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
Der Weg scheitert aber daran, dass ich nicht weiß wie E verteilt ist.

Hat wer einen Tipp?
LG,
MaGI
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von StrunzMagi
Die Anzahl der pro Jahr auftretenden Auslöseereignisse sei poissonverteilt.

Wenn zusätzlich noch vorausgesetzt wird, dass diese Anzahlen in disjunkten Zeitintervallen unabhängig voneinander sind, und zudem identisch verteilt bei gleicher Zeitintervalllänge ("homogen"), dann folgt aus aus diesem , dass die Anzahl der Auslöseereignisse im Zeitraum (in Jahren) ebenfalls poissonverteilt ist, und zwar .

Nun besteht zu der von dir eingeführten Zufallsgröße des ersten Auslösens der Zusammenhang

,

d.h. es ist .
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