Vertauschung von Integral und Ableitung/Divergenzoperator

02.09.2016, 15:48	MathematikMatthias	Auf diesen Beitrag antworten »
Vertauschung von Integral und Ableitung/Divergenzoperator Meine Frage: Ich verstehe leider die folgende Gleichung nicht. Integriert wird über den ganzen Raum. Kennt jemand eventuell einen Satz, der sowas behandelt? Ihr würdet mir sehr helfen! $\begin{eqnarray} \int d^3R' \frac{\partial^2}{\partial R_{\alpha} \partial R_{\beta}} \frac{F(\vec{R'})}{\|\vec{R}-\vec{R'}\|} = F(\vec{R})\delta_{\alpha,\beta}\frac{4 \pi}{3} + \frac{\partial^2}{\partial R_{\alpha} \partial R_{\beta}} \int d^3R' \frac{F(\vec{R'})}{\|\vec{R}-\vec{R'}\|} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Der Satz von Leibniz hilft mir leider nicht. Latex korrigiert und Folgebeitrag entfernt. Guppi12
02.09.2016, 18:11	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht solltest Du mal was zur Notation sagen, damit man das ueberhaupt versteht. Ist $\begin{eqnarray} \vec{R}=(R_1, R_2, R_3) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha, \beta\in\{1,2,3\} \end{eqnarray}$ sind Indizes? Und das $\begin{eqnarray} \delta_{\alpha,\beta} \end{eqnarray}$ rechts ist ein Kronecker-Delta? Oder gar was distributionelles? So oder so: Der Extrasummand rechts zusaetzlich zur naiv angewandten Leibniz-Regel kommt natuerlich daher, dass der Integrand fuer $\begin{eqnarray} \vec{R}'=\vec{R} \end{eqnarray}$ singulaer wird.
03.09.2016, 12:11	MathematikMatthias	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort!!! Die Notation ist wie du vermutest hast: $\begin{eqnarray} \vec{R} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{R'} \end{eqnarray}$ sind Vektoren aus dem 3 dim Raum, $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ sind Indizes von 1 bis 3 (oder x, y, z). Wir haben also auf beiden seiten eine Matrix und $\begin{eqnarray} \delta_{\alpha, \beta} \end{eqnarray}$ ist die Einheitsmatrix. Mir ist leider nicht ganz klar, warum man wegen der singularität einen extra term erhält. Kannst du mir den Satz oder die Rechenregel sagen, mit der du das siehst?
04.09.2016, 20:33	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Integral rechts kann man als Potential einer raeumlichen Massenbelegung deuten. $\begin{eqnarray} F(\vec{R}) \end{eqnarray}$ ist dann die Dichte. Das Integral selber ist eine Faltung: $\begin{eqnarray} \int d^3R' \frac{F(\vec{R'})}{\|\vec{R}-\vec{R'}\|}=F\gamma\quad\text{mit}\quad\gamma(\vec{R})=\frac{1}{\|\vec{R}\|} \end{eqnarray}$ . Bekanntlich gilt $\begin{eqnarray} \Delta(F\gamma)=F(\Delta\gamma)=F(-4\pi\delta)=-4\pi F \end{eqnarray}$ . Denn $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ ist bis auf einen Faktor die Grundloesung der Laplaceschen Differentialgleichung. (Das $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ ist hier die Delta-Distribution.) Aus Symmetriegruenden folgt: $\begin{eqnarray} \frac{\partial^2}{\partial R_{\alpha}^2}\int d^3R' \frac{F(\vec{R'})}{\|\vec{R}-\vec{R'}\|}=-\frac{4\pi}{3}F(\vec{R}) \end{eqnarray}$ . Mehr faellt mir dazu nicht ein.

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