Satz von Riemann-Lebesgue

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02.09.2016, 18:23	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Riemann-Lebesgue Hallo zusammen, ich habe einige Aufgaben zum Satz von Riemann und Lebesgue. Diese möchte ich hier einmal durchrechnen. Benutze den Satz von Riemann-Lebesgue um zu bestimmen ob das Riemann Integral existiert. Begründe deine Antwort. a) $\begin{eqnarray} \int_2^7 (4x^5-2x^3-8x+2)dx \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \int_0^{2\pi} 4\sin(1/x)dx \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \int_0^1f(x)dx \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x)=\begin{cases} 1& x\in[0;0,5) \\ 0 & x\in[0,5;1) \end{cases} \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} \int_0^4 f(x)dx \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x)=\begin{cases}1& x\in [0,1) \\ x & x\in [1,2) \\ x^2 & x\in [2,3) \\ \ln(x) & x\in [3,4] \end{cases} \end{eqnarray}$ Soweit erstmal. Meine Ideen dazu sind: a) Die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=4x^5-2x^3-8x+2 \end{eqnarray}$ ist stetig und beschränkt auf das Intervall $\begin{eqnarray} [2,7] \end{eqnarray}$ . Damit ist f Riemann integrabel. Damit ist auch $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ Lebesgue integrabel und beide Integrale stimmen überein. b) Die Funktion $\begin{eqnarray} 4\sin(1/x) \end{eqnarray}$ ist im Punkt $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ unstetig. Da $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ zu dem Intervall $\begin{eqnarray} [0,2\pi] \end{eqnarray}$ gehört ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nicht Riemann integrabel. Hier bin ich mir nicht sicher da meine Kurzlösung etwas anderes sagt, demnach sei die Funktion Riemann integrabel. Die Begründung fehlt allerdings. Ist das ein Fehler in der Lösung? Vielen Dank!!!
02.09.2016, 18:54	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Riemann-Lebesgue Der Satz sagt doch, dass genau die beschraenkten und fast ueberall stetigen Funktionen Riemann-integrierbar sind. Das ist der Integrand bei b) doch wohl. Ausserdem gibt es noch das einfache (und auch einfach zu beweisende) Kriterium fuer Riemann-Integrierbarkeit: Beschraenkt und bis auf endlich viele Ausnahmen stetig. Das passt auch auf b).
02.09.2016, 19:46	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Riemann-Lebesgue Hallo 005, ich arbeite mit einem englichen Buch. Dort lautet der Satz: A bounded function f is Riemann integrable over an interval [a,b] if and only if the points of discontunuity of f on [a,b] form a set of measure zero. In this case, the Riemann integral equals Lebesgues. Was mich jetzt wundert das du von "fast überall stetig" sprichst. Was bedeutet das denn genau "fast überall stetig"? Die Null ist in dem Beispiel genau an der Intervallgrenze außschließen kann man die Null auch nicht da das Gebiet auf dem f betrachtet wird geschlossen sein muss. Vielen Dank!!!
02.09.2016, 20:22	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Riemann-Lebesgue "Fast ueberall" heisst, dass die Ausnahmemenge eine Nullmenge ist, also das Mass null hat. "... the points of discontunuity of f on [a,b] form a set of measure zero." <===> "f ist in [a,b] fast ueberall stetig." Dir ist klar, was (Lebesgue-)Nullmengen sind? Bei b) kann man streiten. Strenggenommen muss fuer ein eigentliches R-Integral ueber [a,b] der Integrand auch auf [a,b] definiert sein. Ist er es nicht, dann kann man auch kein R-Integral ausrechnen. Im Beispiel kann man aber f(0) ganz beliebig ergaenzen. Dann existiert das R-Integral und der Wert ist unabhaengig von der willkuerlichen Ergaenzung.
02.09.2016, 20:44	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Riemann-Lebesgue Hallo 005, eine Lebesgue Nullmenge ist eine Menge mit Lebegue-Maß Null. Ich pflücke den Satz mal auseinander und wende ihn auf die Aufgabe an. "... the points of discontunuity of f on [a,b] form a set of measure zero." Die Unstetigkeitsstelle ist $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ Das heißt wir haben eine Menge $\begin{eqnarray} S=\{0\} \end{eqnarray}$ . Die Menge besitzt endlich viele Elemente und hat demnach Lebesgue Maß Null. Ich meine das sei sogar ein Satz wenn eine Menge endlich viele Elemente besitzt, dann besitzt die Menge Lebesgue Maß Null? In meinen Unterlagen steht: Theorem: Any countably infinite set of reals S has Lebesgue measure zero. Vielen Dank!!!
02.09.2016, 20:58	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Riemann-Lebesgue x=0 ist aber keine Unstetigkeitsstelle, sondern eine Definitionsluecke.
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02.09.2016, 21:13	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Riemann-Lebesgue Hm... Ich muss doch dazu $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0,x<0}\sin(1/x)=\lim_{x\to 0,x>0}=\sin(1/0) \end{eqnarray}$ betrachten um die Stetigkeit von $\begin{eqnarray} sin(1/x) \end{eqnarray}$ im Punkt $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ nachzuweisen. Das passt doch vorne und hinten nicht. Die Funktion besitzt also auf dem Intervall $\begin{eqnarray} [0,2\pi] \end{eqnarray}$ keine Unstetigkeitsstellen und ist damit stetig. Damit ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [0,2\pi] \end{eqnarray}$ Riemann integrabel und somit auch Lebesgue integrabel? Hier liegt keine Menge $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ vor die das Lebesgue Maß Null besitzt?
02.09.2016, 21:53	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Riemann-Lebesgue Wie kann die Funktion auf $\begin{eqnarray} [0,2\pi] \end{eqnarray}$ stetig sein, wenn sie im Nullpunkt gar nicht definiert ist? Aus dem gleichen Grund ist die Funktion im Nullpunkt auch nicht unstetig. Sie ist im Nullpunkt schlicht ueberhaupt nicht definiert. Entweder machst Du daraus ein Problem, dann existiert $\begin{eqnarray} \text{R-}\!\!\int_0^{2\pi} \end{eqnarray}$ nicht. Oder Du legst den Funktionswert im Nullpunkt nach Gutduenken fest, dann existiert $\begin{eqnarray} \text{R-}\!\!\int_0^{2\pi} \end{eqnarray}$ und der Wert ist unabhaengig von der Festlegung. Such Dir was raus.
03.09.2016, 00:34	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Riemann-Lebesgue Ok, danke ich denke ich habe es nun verstanden. Da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} [0,2\pi] \end{eqnarray}$ keine Unstetigkeitsstelle besitzt und damit die Menge $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ die Nullmenge ist, bedeutet dies das S eine Lebegue Nullmenge ist? c) $\begin{eqnarray} \int_0^1f(x)dx \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x)=\begin{cases} 1& x\in[0;0,5) \\ 0 & x\in[0,5;1) \end{cases} \end{eqnarray}$ Die kritische Stelle befindet sich bei $\begin{eqnarray} x=0,5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0,5 ;x<0,5}f(x)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0,5 ;x>0,5}f(x)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(0,5)=0 \end{eqnarray}$ Da linksseitiger ungleich rechtsseitiger Grenzwert ist $\begin{eqnarray} x=0,5 \end{eqnarray}$ Unstetigkeitsstelle. Da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ beschränkt und das Lebegue Maß lautet $\begin{eqnarray} m(\{0,5\})=0 \end{eqnarray}$ damit ist $\begin{eqnarray} S=\{0,5\} \end{eqnarray}$ eine Lebegue Nullmenge. Damit ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ Riemann und Lebegue integrierbar. $\begin{eqnarray} \int_0^1f(x)dx=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ An die d) setze ich mich später da ich nun schlafen gehe. Vielen Dank!!!
03.09.2016, 10:42	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Riemann-Lebesgue Zu der Aufgabe d) $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ besitzt Unstetigkeitsstellen bei $\begin{eqnarray} x=2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=3 \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [0,4] \end{eqnarray}$ beschränkt und $\begin{eqnarray} m(\{2,3\})=0 \end{eqnarray}$ also eine Lebegue Nullmenge ist, ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ Riemann und Lebegue integrabel. Ich nehme an das Integral wird folgendermaßen berechnet: Als R-Integral: $\begin{eqnarray} \int_0^11dx+\int_1^2xdx+\int_2^3x^2dx+\int_3^4\ln(x)dx \end{eqnarray}$ Als L-Integral: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}1\chi_{[0,1)}+x\chi_{[1,2)}+x^2\chi_{[2,3)}+\ln(x)\chi_{[3,4]}dx \end{eqnarray}$ Das R-Integral wird durch bekannte Integrationsregeln ausgewertet und bei dem L-Integral muss erstmal eine Folge von Treppenfunktionen gefunden werden die gegen die jeweilige Funktion konvergiert. passt das? e) $\begin{eqnarray} \int_0^1 f(x)dx \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x)=\begin{cases} 1&wenn~x=\frac{m}{2n},m,n\in\mathbb{Z} \\ 0 & sonst \end{cases} \end{eqnarray}$ Hast du einen Tipp wie ich hier argumentieren soll? Hier kann ich nicht einfach die Unstetigkeitsstellen bestimmen indem ich mir die jeweiligen Punkte am Übergang von einem zum nächsten Intervall anschaue. Vielen Dank!!!

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