Zwei Fragen bezüglich Mengen und Schnitte

03.09.2016, 15:52	Dukkha	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Fragen bezüglich Mengen und Schnitte Hallo, 1. Ich verstehe nicht genau, wie man $\begin{eqnarray} P(a<X<b)=F(b)-F(a) \end{eqnarray}$ herleitet, wobei $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ die Verteilungsfunktion ist und $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine beliebige Zufallsvariable. Irgendwie ist es für mich verständlich, aber ich kann es mathematisch nicht herleiten. Es git doch $\begin{eqnarray} P(a<X<b)=P(\{a<X\}\cap\{X<b\}) = \end{eqnarray}$ ? 2.Was ist das Produkt zweier Indikatorfunktionen? Konkret geht es um : $\begin{eqnarray} \operatorname{Var}(1_{\{X<m\}}-1_{\{X>m\}})=\mathbb{E}((1_{\{X<m\}}-1_{\{X>m\}})^2)-\mathbb{E}(1_{\{X<m\}}-1_{\{X>m\}})^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\mathbb{E}(1_{\{X<m\}}-2\cdot 1_{\{X<m\}}1_{\{X>m\}}+1_{\{X>m\}})-(P(X<m)-P(X>m))^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =P(X<m)-2\underbrace{\mathbb{E}(1_{\{X<m\}}1_{\{X>m\}})}_{\text{was ist das?}}+P(X>m)-(1-2P(X>m))^2 \end{eqnarray}$
03.09.2016, 16:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 1.) Für $\begin{align} a<b \end{align}$ gilt $\begin{align} P(X<b) = P(X\leq a) + P(a<X<b) \end{align}$ , und dort dann die Verteilungsfunktion $\begin{align} F(t):=P(X\leq t) \end{align}$ eingesetzt ergibt $\begin{align} F(b-0) = F(a) + P(a<X<b) \end{align}$ , umgestellt $\begin{align} P(a<X<b) = F(b-0)-F(a) \end{align}$ . Diese Formel gilt für beliebige Zufallsgrößen $\begin{align} X \end{align}$ und beliebige $\begin{align} a<b \end{align}$ . Ist $\begin{align} X \end{align}$ zudem stetig verteilt, dann ist der linksseitige Grenzwert $\begin{align} F(b-0)=\lim_{t\nearrow b} F(t) \end{align}$ gleich $\begin{align} F(b) \end{align}$ , bei diskreten $\begin{align} X \end{align}$ stimmt das i.a. nicht. Zu 2.) Es ist $\begin{align} 1_A\cdot 1_B = 1_{A\cap B} \end{align}$ , in deinem Fall $\begin{align} A=\{X<m\} \end{align}$ und $\begin{align} B=\{X>m\} \end{align}$ sind diese Ereignisse aber disjunkt, es ist somit $\begin{align} 1_{\{X<m\}}\cdot 1_{\{X>m\}}=1_{\emptyset} = 0 \end{align}$ .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »