V4 ist Normalteiler in S4

Neue Frage »

Julia 004 Auf diesen Beitrag antworten »
V4 ist Normalteiler in S4
Meine Frage:
Z.z.
(i)dass die kleinsche Vierergruppe
V4 = (id, (1,2), (3,4), (1,3), (2,4), (1,4) (2,3))
Normalteiler in S4 ist
(ii)und dass gilt:
S4/V4 ist isomorph zu S3


Meine Ideen:
(i) Was ich mir bisher überlegt habe:
Es gilt
|V4| = 7
|S4| = 24
Hier bin ich leider schon verwirrt ich dachte immer die Ordnung des Normateilers muss die Gruppenordnung teilen, sodass der Index eine natürliche Zahl ist.

Außerdem hab ich überlegt ich muss doch zeigen, dass V4 eine Untergruppe von S4 ist und dass alle g Element von S4 gilt
g(V4)g^(-1)= V4

(ii)
Auch hier verwirt mich bereits die Gruppenordnung. Denn die Anzahl der Elemente von S4/V4 und von S3 stimmen doch überhaupt nicht überein, also, wie kann das Ganze denn bijektiv und somit isomorph sein?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

V4 ist die Kleinsche Vierergruppe, sie hat die Ordnung 4. Als Untergruppe der S4 tritt sie so auf: V4={id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}, Du hast also "nur" ein paar Kommata zu viel gesetzt.
Julia 004 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schön.

Ok dann nochmal neu:
|V4| = 4
|S4| = 24
Somit ist der Index (S4:V4) = 6

Jetzt ist zunächst z.z. dass V4 S4 also eine Untergruppe von S4 ist.
Das habe ich gezeigt durch:
Das alle Elemente von V4 auch in S4 enthalten sind sieht man sofort, nun muss man noch das Untergruppenkriterium anwenden:
1) Z.z. V4 { }
2) V4V4 V4
3) V4 ^-1 V4

Das Untergruppenkriterium habe ich gezeigt.
Da der Index 2 ist, ist es nicht eindeutig, dass V4 Normalteiler von S4 ist (also zumindest für mich, wir hatten nämlich keinen anderen Satz außer bzgl. des Index 2).
Jetzt wäre also noch z.z. dass g V4 g^-1 =V4 mit g S4
Ich weiß allerdings nicht wie ich das zeigen soll außer indem ich diese Eigenschaft für alle g S4 und für alle n V4 zeige. Natürlich gibt es darunter einige triviale Fälle bzgl. der Identität aber es sind trotzdem noch zu viele Fälle wie es mir scheint.
Hat jemand vielleicht eine Idee, wie man das systematisch lösen kann oder gibt es hier vielleicht doch eine Regel, die man anwenden kann?
Danke schon mal im voraus.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Hast Du wirklich das Untergruppenkriterium verwendet und alles einzeln nachgerechnet ? Das kann ich kaum glauben, weil das Mühe macht. Ist doch auch völlig unnötig, denn V4, so wie sie dasteht (ist nicht leer,) liegt in S4 und ist eine Gruppe. Mehr kann man von einer Untergruppe nicht verlangen.

Tipp zum Nachweis von Normalteiler: das ist schon so oft diskutiert worden, dass es nicht mehr richtig spannend ist (z.B. hier: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/...php?topic=29518 ) oder in tausend Veröffentlichungen zum Thema S4 im Internet. Ja, es ist nicht trivial, aber auch das Nichttriviale wird irgendwann langweilig. Konkreter Tipp: Welche Form haben alle konjugierten Elemente , und damit es nicht zu viel Mühe macht, sollte man das auf erzeugende Elemente beschränken. Noch konkreter, z.B. auf die 3 Transpositionen (12),(13),(14) , das macht höchstens 9 Permutationen, die man mal eben hinschreiben kann. Mit mehr Nachdenken ergibt sich noch weniger Arbeit.
Julia 004 Auf diesen Beitrag antworten »
ii) Isomorphismus finden
Ok vielen Dank. So ist das auf jeden Fall viel leichter!

ii) Ich soll jetzt ja noch einen Isomorphismus finden:
S4/V4 ->S3

Ich weiß, dass |S4/V4|=24/4=6 =3*2*1= |S3|

1. Ansatz: Da beide Gruppen nicht abelsch sind und die gleiche Ordnung haben reicht es doch die Injektivität oder Surjektivität zu zeigen richtig?

2. Ansatz: Homomorphiesatz anwenden. Dieser besagt: Sei f: G->H ein Gruppenhomomorphismus. Dann gibt es einen Isomorphismus
g: G/ker(f) -> im(f)
gker(f) -> f(g)

Bevor ich jedoch einen dieser Ansätze weiter verfolgen kann muss ich erstmal herausfinden welche Elemente in S4/V4 enthalten sind. Wie kann ich das machen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du weißt, dass nicht abelsch ist, bist Du fertig. Es gibt nur 2 Gruppen der Ordnung 6, das sind die nichtabelsche symmetrische Gruppe und die abelsche zyklische Gruppe .

. so sind Faktorgruppen definiert.
 
 
Julia 004 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.
Das bedeutet also defacto, dass ich durch Ausschlussverfahren sagen kann, dass S4/V4 gerade S3 ist richtig?
Julia 004 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso und ist C6 die Gruppe der Drehungen oder was war C6 nochmal?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gruppe der Drehungen ? Kenne ich nicht. Was willst Du drehen, wie willst Du drehen ? Egal was du willst, das ist viel zu konkret.
In der Gruppentheorie geht es nicht um konkrete Gruppen von irgendwas sondern immer nur um den Isomorphietyp. Hier ist
Julia 004 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ok danke ich dachte erst es ginge um die Diedergruppe also D3, obwohl diese ja nicht abelsch ist.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »