Lebesgue Integrierbarkeit

03.09.2016, 21:13

yellowman

Lebesgue Integrierbarkeit

Hallo, ich habe die Aufgabe:

a) $\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=xyze^{-z^{2} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A:=[-1,1]\times [-1,1]\times \mathbb R \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} f(x,y)=sin(x)\chi_{[0,\pi]}(x)cos(y)\chi_{[0,\pi]}(y) \end{eqnarray*}$

Prüfe ob $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Lebegue integrierbar ist und berechne gegebenfalls das Integral.

Meine Ideen:
a) Wenn ich das richtig sehe sieht das Integral folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}xyze^{-z^2}dxdydz \end{eqnarray*}$

Wie man nun konkret zeigt das f Lebegue integrierbar ist weiß ich nicht. Die x und y Integration ist Riemann integrierbar da die Funktionen auf $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ beschränkt und die Funktionen stetig sind und bilden eine Lebegue Nullmenge.
Bei der z-Integration lässt sich so allerdings nicht mehr argumentieren da wir dort ein uneigentliches Integral vorliegen haben. Wie stelle ich das an?

b) Das Integral lautet $\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi}\int_0^{\pi}\sin(x)\sin(y)dxdy=\int_0^{\pi}\sin(y)dy\int_0^{\pi}\sin(x)dx \end{eqnarray*}$

Die beiden integrale sind Riemann integrierbar auf einem beschränkten Intervall. Zudem sind sie stetig und müssten damit Lebegue integrierbar sein.

Passt das und wie berechne ich das Integral?

Vielen Dank!!!

03.09.2016, 21:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von yellowman
Die x und y Integration ist Riemann integrierbar da die Funktionen auf $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ beschränkt und die Funktionen stetig sind und bilden eine Lebegue Nullmenge.

Wer oder was bildet hier eine Lebesgue-Nullmenge. Erstaunt1

Was z betrifft: Die uneigentliche Riemann-Integrierbarkeit lässt sich da leicht zeigen. Für nichtnegative Funktionen ist das hinreichend für Lebesgue-Integrierbarkeit - durch Aufteilung des Integrationsgebietes in positive und negative Achse lässt sich das bewerkstelligen.

03.09.2016, 22:28

yellowman

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Hallo,

"Wer oder was bildet hier eine Lebesgue-Nullmenge."
Ich dachte das ich die Integrale $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}xdx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}ydy \end{eqnarray*}$ separat betrachten kann.
Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ und die Funktion $\begin{eqnarray*} g(y)=y \end{eqnarray*}$ sind auf das Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ beschränkt. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ besitzen keine Unstetigkeitsstellen und damit müsste die Menge der Unstetigkeitsstellen die leere Menge sein. Die leere Menge besitzt doch Lebegue Maß Null da sie abzählbar ist. Ich hoffe das ich hier nicht vollständig unfung erzähle.

Hier muss noch gezeigt werden dass die z-Integration Lebegue integrierbar ist. $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}ze^{-z^2}dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(z)=ze^{-z^2} \end{eqnarray*}$ ist doch nicht prinzipiell nichtnegativ sondern kann negativ werden aufgrund des $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ vor dem $\begin{eqnarray*} e^{-z^2} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

b) Hier hätte ich ebenfalls wie bei der a) argumentiert das $\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(y)=sin(y) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0,\pi] \end{eqnarray*}$ beschränkt und keine Unstetigkeitsstellen besitzen. Das heißt die Menge der Unstetigkeitsstellen ist die leere Menge und diese besitzt Lebegue Maß Null. Damit ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Riemann integrierbar und damit auch Lebegue integrierbar?

Ist der Satz mit der nichtnegativen Funktion + uneigentlich Riemann integrierbar und damit auch Lebegue integrierbar in allen Lebenslagen anwendbar indem der positive Teil der Funktion betrachtet wird und wie?

Vielen Dank!!!

04.09.2016, 07:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von yellowman
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ besitzen keine Unstetigkeitsstellen und damit müsste die Menge der Unstetigkeitsstellen die leere Menge sein. Die leere Menge besitzt doch Lebegue Maß Null da sie abzählbar ist. Ich hoffe das ich hier nicht vollständig unfung erzähle.

Hier nicht, aber oben in der dort getätigten grauenhaften Formulierungsvariante schon! Augenzwinkern

Zitat:

Original von yellowman
$\begin{eqnarray*} h(z)=ze^{-z^2} \end{eqnarray*}$ ist doch nicht prinzipiell nichtnegativ sondern kann negativ werden aufgrund des $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ vor dem $\begin{eqnarray*} e^{-z^2} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Wozu wohl habe ich das erzählt:

Zitat:

Original von HAL 9000
durch Aufteilung des Integrationsgebietes in positive und negative Achse lässt sich das bewerkstelligen.

Betrachte also $\begin{align*} \int\limits_{-\infty}^0 ze^{-z^2} ~ \dd z \end{align*}$ und $\begin{align*} \int\limits_0^{\infty} ze^{-z^2} ~ \dd z \end{align*}$ getrennt - wobei letzteres aus Symmetriegründen ausreichend dürfte.

04.09.2016, 11:27

yellowman

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Ich erhalte $\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty}ze^{-z^2}dz=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ uneigentlich Riemann integrierbar und darauß folgt die Lebesgue Integrierbarkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .
Ich habe mich gestern Abend noch etwas weiter in das Thema eingelesen und habe den Ausdruck gefunden:

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Lebegue integrierbar, wenn $\begin{eqnarray*} \int_A|f|<\infty \end{eqnarray*}$ .

Angewendet auf Aufgabenteil a)

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}|z|e^{-z^2}dz\int_{-1}^{1}|y|dy\int_{-1}^{1}|x|dx=\int_{-\infty}^{\infty}|z|e^{-z^2}dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =-\int_{-\infty}^{0}ze^{-z^2}dz+\int_0^{\infty}ze^{-z^2}dz=1<\infty \end{eqnarray*}$

Damit müsste $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Lebesgue integrierbar sein.

Analog müsste das bei der b) laufen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi}|\sin(y)|dy\int_{0}^{\pi}|\sin(x)|dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi}\sin(y)\int_0^{\pi}\sin(x)dx \end{eqnarray*}$

Hier ist es allerdings ziemlich witzlos da man direkt das Integral auswertet beim zeigen der Lebesgue Integrierbarkeit.

Ich habe also drei Möglichkeiten die Lebesgue Integrierbarkeit zu zeigen.

1) Ich zeige falls $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf einem beschränkten Intervall definiert und die Menge der Unstetigkeitsstellen auf diesen Intervall bilden eine Lebesgue Nullmenge. Dann folgt darauß Riemann Integrabilität und somit Lebegue Integrabilität

2) Ich zeige für nichtnegative Funktionen das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ uneigentlich Riemann integrierbar ist.

3) Ich zeige $\begin{eqnarray*} \int_A|f|<\infty \end{eqnarray*}$

Ist 2 und 3 nicht in etwa das Gleiche?

Vielen Dank!!!

05.09.2016, 10:25

yellowman

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Sind meine Gedanken zu der Aufgabe aus meinen letzten Beitrag so korrekt? Dann kann hier dicht gemacht werden.

Vielen Dank!!!

05.09.2016, 11:12

HAL 9000

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2) und 3) sind nicht das gleiche, allerdings taucht beides oft im Tandem in der Argumentation auf:

Das Lebesgue-Integral $\begin{align*} \int f \dd\lambda \end{align*}$ ist ja für beliebige messbare Funktionen genau dann definiert, wenn sowohl $\begin{align*} \int f_+ \dd\lambda \end{align*}$ als auch $\begin{align*} \int f_- \dd\lambda \end{align*}$ existieren, dabei sind $\begin{align*} f_+:=\max(f,0) \end{align*}$ Positivteil sowie $\begin{align*} f_-:=-\min(f,0)=\max(-f,0) \end{align*}$ Negativteil von $\begin{align*} f \end{align*}$ . In dem Fall ist dann als Integralwert ja $\begin{align*} \int f \dd\lambda := \int f_+ \dd\lambda - \int f_- \dd\lambda \end{align*}$ definiert.

Die Existenz der beiden Integrale über Positiv- und Negativteil ist nun gleichbedeutend mit der Existenz des Integrals über $\begin{align*} |f|=f_++f_- \end{align*}$ .

Und für Positiv- wie Negativteil, beides nichtnegative Funktionen, greift nun wieder die obige Aussage hinsichtlich der uneigentlich riemannintegrierbaren nichtnegativen Funktionen.

Der Rest ist soweit Ok.

05.09.2016, 11:23

IfindU

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Vlt noch eine kurze Bemerkung zu 1).

Die Funktion $\begin{eqnarray*} (0,1) \to \mathbb R, x \mapsto 1/x \end{eqnarray*}$ ist auf einem beschränkten Intervall definiert, überall stetig aber nicht Lebesgue-integrierbar.

Die Funktion $\begin{eqnarray*} [-1,1] \to \mathbb R, x \mapsto \begin{cases} 1/x & x \neq 0, \\ 0 & x =0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ ist auf einem kompakten Intervall definiert, fast überall stetig, aber nicht Lebesgue-integrierbar.

Wenn man zusätzlich zum beschränkten Intervall auch beschränkte Funktion fordert, so stimmt 1) hingegen.

05.09.2016, 11:30

HAL 9000

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Peinlich, 1) hatte ich mir überhaupt nicht angeschaut (bzw. das dort stehende "beschränkt" unbewusst auf die Funktion übertragen). Danke für die Anmerkung!

05.09.2016, 11:47

yellowman

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Danke,

1) dann werde ich das mit der Beschränktheit der Funktion noch berücksichtigen.
3) Ok, dass scheint also nur eine Abwandlung der eigentliche Aussage zu sein wo "nur" gefordert ist das $\begin{eqnarray*} \int f_+ \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \int f_- \end{eqnarray*}$ existieren. Stattdessen zeigt man $\begin{eqnarray*} \int|f|=\int f_++\int f_- \end{eqnarray*}$
Es gibt sicher Spezialfälle indem $\begin{eqnarray*} \int f_+ \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \int f_- \end{eqnarray*}$ existieren aber nicht beide zugleich. Dann lässt sich mit $\begin{eqnarray*} \int |f| \end{eqnarray*}$ wohl auch nicht mehr argumentieren?
Dann lässt sich über die Lebesgue Integrabilität nur eine Aussage treffen, wenn $\begin{eqnarray*} \int|f|<\infty \end{eqnarray*}$ gilt, andernfalls lässt sich mit dem Ansatz keine Aussage treffen?

Vielen Dank!!!

05.09.2016, 14:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von yellowman
Es gibt sicher Spezialfälle indem $\begin{eqnarray*} \int f_+ \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \int f_- \end{eqnarray*}$ existieren aber nicht beide zugleich.

Denk mal nach: Bei vorausgesetzter Messbarkeit von f (ohne es immer extra zu erwähnen, gehe ich davon hier mal stets aus) ist in den Fällen dann immer $\begin{eqnarray*} \int |f| = \infty \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

05.09.2016, 15:22

yellowman

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Alles klar, vielen Dank für die Hilfe und bis zum nächsten mal.

Wink

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