Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable höher ist als eine andere

04.09.2016, 09:07

Staubo

Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable höher ist als eine andere

Meine Frage:
Hallo,
Möchte gerne wissen, wie man berechnet, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine Zufallsvariable höher ist als eine andere; dabei werden beide Zufallsvariablen wie Würfel gerollt (alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich), allerdings können dabei nicht nur ganzzahlige Ergebnisse rauskommen, sondern jede rationale oder irrationale Zahl. Ausserdem ist die Spannweite der möglichen Zufallsvariablen für Variable A höher als für Variable B.

Meine Ideen:
Ich weiss, dass es dafür eine Art Reihe geben muss, weiss aber nicht welche.
Für ganzzahlige Zufallsvariablen wäre die Formel $\begin{eqnarray*} P(A > B) = \frac{1}{spannweite B} * \frac{(spannweite A - 1)! - (spannweite A - spannweite B)!}{spannweite B} \end{eqnarray*}$ . Aber das bringt mich hier nicht wirklich weiter.

04.09.2016, 09:33

1nstinct

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RE: Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable höher ist als eine andere
Ich versuche mal das ganze mathematisch zu fassen:

Es sei $\begin{eqnarray*} A\sim \mathcal U_{|(x_1,y_1)} \end{eqnarray*}$ (" $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist gleichverteilt auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} (x_1,y_1) \end{eqnarray*}$ ")

und $\begin{eqnarray*} B\sim \mathcal U_{|(x_2,y_2)} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1\leq x_2 < y_2 \leq y_1 \end{eqnarray*}$ .

Du willst $\begin{eqnarray*} P(A>B) \end{eqnarray*}$ berechnen:

$\begin{eqnarray*} P(A>B)=P(A-B>0)=\dots \end{eqnarray*}$

Du brauchst also die Verteilung von $\begin{eqnarray*} X:=A-B \end{eqnarray*}$ .

Liebe Grüße

04.09.2016, 09:49

Staubo

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Vielleicht hätte ich erwähnen sollen, dass ich derzeit nichts mit Statistik am Hut habe... ziehe dass, was ich weiss, einfach aus gesammeltem Mathewissen.
P(A>B) = P (A-B > 0) macht absolut Sinn! Aber wie ich da weiterverfahren soll, ist mir unklar.

04.09.2016, 09:57

1nstinct

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Wenn du mit Statistik nichts am Hut hast, warum beschäftigst du dich dann mit dem Thema? smile

Ich gehe übrigens von unabhängigen ZVen ab.

Für die Berechnung von Summen von Zufallsvariablen ( $\begin{eqnarray*} X=A+(-B) \end{eqnarray*}$ ) gibt es eine Formel (Stichwort Faltung) und die Dichte von $\begin{eqnarray*} -B \end{eqnarray*}$ kann man recht einfach berechnen.

Wenn dir diese Sachen aber nichts sagen, dann sind wir wieder bei meiner ersten Frage:

Zitat:

Wenn du mit Statistik nichts am Hut hast, warum beschäftigst du dich dann mit dem Thema? smile

04.09.2016, 10:16

Huggy

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Wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ gleichverteilt auf 2 Intervallen sind und unabhängig, kann man $\begin{eqnarray*} P(A>B) \end{eqnarray*}$ auch einfach geometrisch bestimmen. Dann ist $\begin{eqnarray*} (A,B) \end{eqnarray*}$ nämlich gleichverteilt auf einem Rechteck mit den beiden Intervallen als Seitenlängen. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich $\begin{eqnarray*} (A, B) \end{eqnarray*}$ in einer bestimmten Teilfläche des Rechtecks befindet, ist dann proportional zur Größe dieser Teilfläche.

Zeichnet man das Rechteck in ein Koordinatensystem ein zusammen mit der Winkelhalbierenden $\begin{eqnarray*} A=B \end{eqnarray*}$ des Koordinatensystems (nicht des Rechtecks), so ist $\begin{eqnarray*} P(A>B) \end{eqnarray*}$ proportional zur Größe der Teilfläche des Rechtecks, die sich unterhalb der Winkelhalbierenden befindet, falls man $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ horizontal und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ vertikal aufträgt.

04.09.2016, 10:28

Staubo

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Ha - die Frage ist gerechtfertigt smile

Nun ja, es geht um ein Browserspiel, dass ich spiele, wo alle individuellen Items zufällige Stats haben (Itemarten unterscheiden sich in der Reichweite der möglichen Stats). Die Wirtschaft ist strikt spielerbasiert, d.h. wir müssen selbst herausfinden was wieviel wert ist.
Die meisten Spieler vergleichen einfach den maximal normal möglichen Schaden, ohne kritische Treffer; das nervt mich, da es einfach nicht passt. Daher versuche ich, eine Formel herzustellen, die den tatsächlichen durchschnittlichen Schaden hergibt; für den Fall, dass ein Treffer gelandet wird, habe ich bereits eine Formel. Allerdings hat jede Waffe auch eine Beweglichkeitsstrafe - und deine Beweglichkeit bestimmt, ob du einen Treffer landest oder nicht. Es wird eine zufällige Zahl zwischen deinem Beweglichkeitswert und 0 gerollt, das gleiche geschieht für deinen Gegner. Falls die gerollte Zahl des Attackierenden höher ist als die des Verteidigers, gelingt der Angriff.
Was ich versuche herauszufinden, ist die Wahrscheinlichkeit, einen Treffer zu landen, einmal mit, einmal ohne Strafe.

Ich will das auch nicht vorgekaut bekommen - sagt mir einfach, was ich nachschlagen muss!
Ich google jetzt mal die Begriffe, die bereits gefallen sind; falls es da noch mehr Stichworte gibt, die ich brauche, wäre ich sehr dankbar, wenn ihr die posten könntet. smile

08.09.2016, 10:21

Staubo

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Huhu,

Möchte nur kurz überprüfen, ob ich denn auf dem richtigen Pfad bin, um zu wissen, ob ich da weiterschreiten sollte smile

X = A - B hat eine Dreiecksverteilung, richtig?

Viele liebe Grüße,
Staub

08.09.2016, 10:35

HAL 9000

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Nur dann, wenn die Spannweiten beider Gleichverteilungen gleich sind. Wenn es wie in deinem Eröffnungsbeitrag beschrieben so ist, dass die von A höher ist als die von B, so kommt eine symmetrische Trapezverteilung heraus.

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