Integration durch Substitution

05.09.2016, 12:31

Dukkha

Integration durch Substitution

Hallo,

Ich habe leider immer noch Mühe mit der Integration durch Substitution. Konkret geht es um folgendes:

Wenn ich $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^\infty f(\ln(1+z))\frac{2}{(1+z)^3}\mathrm{d}z \end{eqnarray*}$ habe
und $\begin{eqnarray*} u=\ln(1+z) \end{eqnarray*}$ substituiere, dann gibt es ja zwei Wege wie ich fortfahren kann.

Weg 1: $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dz}=(\ln(1+z))'=\frac{1}{1+z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int\limits_1^\infty f(u)\frac{2(1+z)}{(1+z)^3}\mathrm{d}z=\int\limits_1^\infty f(u)\frac{2}{(e^u)^2}\mathrm{d}u \end{eqnarray*}$

Weg 2: Da $\begin{eqnarray*} u=\ln(1+z) \end{eqnarray*}$ gilt, gilt somit $\begin{eqnarray*} e^u-1=z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{du}=(e^u-1)'=e^u \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}z=e^u \mathrm{d}u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\limits_1^\infty f(u)\frac{2e^u}{(e^u)^3}\mathrm{d}u=\int\limits_1^\infty f(u)\frac{2}{(e^u)^2}\mathrm{d}u \end{eqnarray*}$

Was genau ist jetzt der Unterschied? Bewirkt beides immer das gleiche? Wenn nein, wann muss ich welchen Weg gehen?

05.09.2016, 12:50

klarsoweit

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RE: Integration durch Substitution
Prinzipiell sind beide Wege korrekt. Allerdings muß es hier

Zitat:

Original von Dukkha
$\begin{eqnarray*} \int\limits_1^\infty f(u)\frac{2(1+z)}{(1+z)^3}\mathrm{d}z=\int\limits_1^\infty f(u)\frac{2}{(e^u)^2}\mathrm{d}u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^\infty f(u)\frac{2(1+z)}{(1+z)^3} \mathrm{d}u \end{eqnarray*}$ heißen.

Der Fehler mit den Integrationsgrenzen ist auch im 2. Weg.

05.09.2016, 12:52

IfindU

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RE: Integration durch Substitution
Solange die Substitution $\begin{eqnarray*} z \mapsto \varphi(z) \in C^1 \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} \varphi' \neq 0 \end{eqnarray*}$ überall, so ist beides gleich und entspricht beides beim ursprünglichen Integral. Bei dir ist $\begin{eqnarray*} u = \varphi \end{eqnarray*}$

Da Substitution die Umkehrung der Kettenregel ist, gilt für alle differenzierbaren $\begin{eqnarray*} f , \varphi \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} (f \circ \varphi)' = (f' \circ \varphi)\varphi' \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \int(f \circ \varphi)' = \int (f' \circ \varphi)\varphi' \end{eqnarray*}$ .

Etwas mehr Regularität fordert man üblicherweise im Satz über die Umkehrabbildung, auch wenn man die Voraussetzungen etwas abschwächen kann in 1D. Allerdings spart man stetig differenzierbar nur ein, um es durch differenzierbar zu ersetzen.
Jedenfalls ist dann $\begin{eqnarray*} \varphi^{-1} \in C^1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\varphi^{-1})'(\varphi(z)) = \frac 1 { \varphi'(z)} \end{eqnarray*}$ , womit beide Formen dann das gleiche liefern.

Edit: Erst jetzt gesehen, dass es in der Schulmathematik gepostet wurde. Da habe ich wohl etwas zu weit ausgeholt Hammer

05.09.2016, 16:02

Dukkha

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RE: Integration durch Substitution
Vielen Dank für die Antworten.

Ich habe noch eine kleine Frage bezüglich der Integralgrenzen, wenn ich den zweiten Weg gehe.

Sagen wir ich habe $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1f(\frac{1}{2}\ln(1-u))du \end{eqnarray*}$

und ich mach folgendes $\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{2}\ln(1-u) \end{eqnarray*}$ somit $\begin{eqnarray*} -e^{2r}+1=u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dr}=-\frac{1}{2}e^{2r} \end{eqnarray*}$ . Muss ich dann die Integralgrenzen hier einsetzen: $\begin{eqnarray*} e^{2r}+1=u \end{eqnarray*}$ und erhalte $\begin{eqnarray*} [1,e^{2}+1] \end{eqnarray*}$ oder muss ich sie wie bei Weg 1 in $\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{2}\ln(1-u) \end{eqnarray*}$ einsetzen und erhalte $\begin{eqnarray*} [0,\frac{1}{2}] \end{eqnarray*}$ ?

05.09.2016, 16:08

HAL 9000

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RE: Integration durch Substitution
Zunächst mal ist dann $\begin{align*} \frac{\dd u}{\dd r} = -2e^{2r} \end{align*}$ .

Und die Intervallgrenzen sind auch ganz normal der Transformation zu unterziehen:

$\begin{align*} u=0 \end{align*}$ bedeutet $\begin{align*} r=\frac{1}{2}\ln(1-0) = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} u\nearrow 1 \end{align*}$ bedeutet $\begin{align*} r\to -\infty \end{align*}$ , es kommt also insgesamt raus

$\begin{align*} \int\limits_0^1 f\left(\frac{1}{2}\ln(1-u)\right) ~ \dd u = -\int\limits_0^{-\infty} 2e^{2r} f(r) ~ \dd r = \int\limits_{-\infty}^0 2e^{2r} f(r) ~ \dd r \end{align*}$ .

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