Integral berechnen

05.09.2016, 16:55

knacktus

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Integral berechnen

Hallo ich soll das Integral $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}x\sin(kx)dx \end{eqnarray*}$ auswerten.

Meine Idee dazu ist:

Da wir eine periodische und gerade Funktion haben gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}x\sin(kx)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(kx)dx=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x\sin(kx)dx=-\frac{2}{k}\cos(k\pi)=-\frac{2}{k}(-1)^k \end{eqnarray*}$

Laut Lösung soll allerdings $\begin{eqnarray*} -\frac{2}{k} \end{eqnarray*}$ herauskommen.
Ich sehe nicht warum meine Lösung nicht mit der Musterlösung übereinstimmt.

Hat jemand eine Idee?
Viele Grüße smile

smile

05.09.2016, 17:07

005

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RE: Integral Berechnen
Die Behauptung, der Integrand sei periodisch, solltest Du mal ueberdenken.

05.09.2016, 17:11

MatheMB

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RE: Integral Berechnen
Hallo,

der sin ist periodisch, das x ist es sicher nicht, also kannst Du die Grenzen nicht einfach transformieren.

Ansonsten hast Du keine "gerade" Funktion, höchstens eine symmetrische. Diese ..., die ja von den Polynomen herkommt, lässt sich nicht einfach auf andere Funktiionen übertragen, also lass es sein.

Integriere partiell.

Grüße,
M.B.

Fäkalsprache zensiert. Bitte befleißige Dich als Helfer einer weniger vorpubertären Ausdrucksweise. Steffen

05.09.2016, 17:17

knacktus

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RE: Integral Berechnen
Anscheinden ist der Integrand wohl nicht periodisch. Woran erkenne ich denn ob ein Integrand periodisch ist oder nicht? verwirrt

verwirrt

Ich sollte die Fourier Koeffizienten der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ bestimmen.
Dann habe ich

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}x\cos(kx)dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_k=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}x\sin(kx)dx \end{eqnarray*}$

Ich dachte der Trick sei nun das Integral auf symmetrische Grenzen zu bringen um nun mit der Integration über gerade und ungerade Funktionen zu argumentieren? verwirrt

verwirrt

Viele Grüße

05.09.2016, 17:27

MatheMB

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RE: Integral Berechnen
Hallo,

Symmetrie (Ursprung, y-Achse), wenn f(-x) = f(x) bzw. f(-x) = -f(x).
Allgemeine Symmetrie ist etwas schwieriger zu bestimmen.

Periode, wenn ein p existiert, mit f(x+p) = f(x)

Der sin ist periodisch, der cos auch, durch das x ändert sich aber die Amplitude, d.h. phys. schlägt die Schwingung immer mehr aus.

Und höre auf von geraden/ungeraden Funktionen zu reden. Das ist eine schlampige und unsachliche Bezeichnung.

Grüße,
M.B.

05.09.2016, 17:31

HAL 9000

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RE: Integral Berechnen

Zitat:

Original von MatheMB
Und höre auf von geraden/ungeraden Funktionen zu reden. Das ist eine schlampige und unsachliche Bezeichnung.

Nur weil sie nicht zu deinem aktiven Wortschatz gehören, musst du den Gebrauch dieser durchaus gebräuchlichen Begriffe nicht herabwürdigen. unglücklich

unglücklich

https://de.wikipedia.org/wiki/Gerade_und_ungerade_Funktionen

edit von sulo: Die sich anschließende Diskussion wurde hierhin ausgelagert: Diskussion zu: Integral Berechnen
Dadurch könnten evtl. Brüche im Verlauf des Threads entstanden sein.

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05.09.2016, 17:44

knacktus

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RE: Integral Berechnen
Ok, also durch das x wird der Integrand des jeweiligen Fourier Koeffizienten zu einer nichtperiodischen Funktion und somit lassen sich auch nicht die Grenzen verschieben. Das ist mir jetzt klar.

In meinen Unterlagen steht:
Berechnung der Fourierkoeffizienten

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} \Rightarrow b_n=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ungerade $\begin{eqnarray*} \Rightarrow a_n=0 \end{eqnarray*}$

Beim Berechnen der Fourierkoeffizienten ist der Anfangspunkt des Integrationsuntervall beliebig

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2}{T}\int_0^T f(x)\cos(\frac{2\pi}{T}kx)dx=\frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T}f(x)\cos(\frac{2\pi}{T}kx)dx \end{eqnarray*}$

analog für $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$

Habe ich die Regel nicht in meiner Aufgabe angewendet?

Viele Grüße

Warum soll ich die Begriffe gerade und ungerade Funktion nicht verwenden? verwirrt

verwirrt

05.09.2016, 17:45

Mulder

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RE: Integral Berechnen

Zitat:

Original von knacktus
Warum soll ich die Begriffe gerade und ungerade Funktion nicht verwenden? verwirrt

verwirrt

Wie HAL schon angedeutet hat, gibt es keinen Grund, dir das abzugewöhnen. Bleib ruhig dabei, keine Sorge.

05.09.2016, 17:59

Leopold

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RE: Integral Berechnen

Zitat:

Original von MatheMB
... es sind trotzdem schlampige Bezeichnungen.

Die Herkunft dieser kommt von Polynomen, die nur gerade / ungerade Exponenten haben und dann achsen-- / punktsymmetrisch sind.

Der Hinweis stimmt.

Zitat:

Original von MatheMB
Dieser Zusammenhang funktioniert aber nicht bei anderen Funktionen. Aus der Potenz lässt sich kein Rückschluss auf Symmetrieverhalten ziehen.

Letzteres behauptet ja auch niemand.

@ knacktus

Wenn du Symmetrien ausnutzen willst, könntest du folgendermaßen vorgehen:

$\begin{align*} \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} x \sin(kx) \dd x \ = \ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left( x + \pi \right) \cdot \sin \left( kx + k \pi \right) ~ \dd x \ = \ \frac{(-1)^k}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left( x + \pi \right) \sin(kx) ~ \dd x \end{align*}$

$\begin{align*} = \ \frac{(-1)^k}{\pi} \cdot \left( \ \ \int_{- \pi}^{\pi} \underbrace{x \sin(kx)}_{\text{gerade}} ~ \dd x \ + \ \int_{-\pi}^{\pi} \underbrace{\pi \sin(kx)}_{\text{ungerade}} ~ \dd x \ \ \right) \end{align*}$

$\begin{align*} = \ \frac{(-1)^k \cdot 2}{\pi} \int_0^{\pi} x \sin(kx) ~ \dd x \end{align*}$

Nun ja - einfacher als eine direkte Berechnung ist das wohl auch nicht.

05.09.2016, 18:07

knacktus

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RE: Integral Berechnen
Ok, dankeschön dann werde ich die Begriffe gerade und ungerade weiter verwenden. EInen weiteren Kriegsschauplatz kann ich auch nicht gebrauchen. smile

smile

Ich habe die Regeln in meinen Unterlagen angewendet die ich in meinen letzten Beitrag aufgeschrieben habe.
$\begin{eqnarray*} b_k=\frac{2}{T}\int_0^T f(x)\sin(\frac{2\pi}{T}kx)dx=\frac{2}{T}\int_{x_0}^{x_0+T}f(x)\sin(\frac{2\pi}{T}kx)dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_k=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}x\sin(kx)dx \end{eqnarray*}$

Nach der Regel gilt dann aber doch

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{2\pi}\int_0^{2\pi}x\sin(\frac{2\pi}{2\pi}kx)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(kx)dx \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} a_k=0 \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ eine ungerade Funktion ist. Ist die Formel falsch die in meinen Unterlagen steht?

Wie kommt man darauf das $\begin{eqnarray*} a_k=0 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ungerade und $\begin{eqnarray*} b_k=0 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gerade ist?

Viele Grüße

05.09.2016, 18:53

knacktus

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Könnte mir auch noch jemand meine Fragen in meinen letzten Beitrag beantworten? Das wäre echt toll. Big Laugh

Big Laugh

Viele Grüße

05.09.2016, 20:15

knacktus

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Ich habe jetzt mal in das Gelbe Rechenbuch von Peter Furlan reingeschaut. Dort steht:

Die Fourierkoeffizienten $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ berechnen sich nach den Formeln

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx \end{eqnarray*}$
Statt von $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ darf auch über jedes andere Intervall der Länge $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ integriert werden, etwa von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)\cos(nx)dx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ungerade $\begin{eqnarray*} a_n=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)\sin(nx)dx \end{eqnarray*}$

Habe ich das nicht genau so angewendet?
Ich verstehe dann nicht was ich falsch gemacht habe ... unglücklich

unglücklich

05.09.2016, 20:39

005

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Als Tipp: Du kannst nicht beliebige Funktionen in Fourierreihen entwickeln, sondern bloss periodische. Wenn die Aufgabe also lautet, $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ in eine Fourierreihe zu entwickeln, dann ist damit gemeint, dass Du ein Stueck der Funktion nimmst, z.B. das von $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , und dieses Stueck dann $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodisch fortsetzt. Das ist eigentlich Dein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Und darauf kannst Du dann auch Deine Formeln anwenden.

05.09.2016, 20:43

005

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Nachtrag. Hier ist das recht huebsch illustriert:

mathe-online.at/mathint/fourier/i.html#Saegezahnfunktion

05.09.2016, 20:54

knacktus

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Hallo 005, habe ich das nicht gemacht? In dem Link
mathe-online.at/mathint/fourier/i.html#Saegezahnfunktion

stimmt der $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ Koeffizient mit meinen errechneten überein. In der Musterlösung steht allerdings $\begin{eqnarray*} b_k=-\frac{2}{k} \end{eqnarray*}$

Ich habe doch in die Formel $\begin{eqnarray*} b_k=\frac{2}{T}\int_0^{T}f(x)\sin(k\omega x)dx \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} T=2\pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \omega=\frac{2\pi}{T}=1 \end{eqnarray*}$ eingesetzt und komme dann auf:

$\begin{eqnarray*} b_k=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}x\sin(kx)dx \end{eqnarray*}$

Dann habe ich wie im Gelben Rechenbuch steht die Grenzen lediglich verschoben

$\begin{eqnarray*} b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(kx)dx \end{eqnarray*}$

Dann ausgenutzt das es eine gerade Funktion ist:

$\begin{eqnarray*} b_k=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x\sin(kx)dx \end{eqnarray*}$

Was ist denn nun richtig? Ich verstehe es ehrlich gesagt nicht warum das in dem Buch so steht allerdings meine Lösung dann falsch ist? unglücklich

unglücklich

Viele Grüße

05.09.2016, 21:18

005

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Die Frage ist, welches Stueck von f(x)=x in Deiner Aufgabe ausgewaehlt und dann periodisch fortgesetzt wird.

05.09.2016, 21:22

knacktus

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Die Aufgabe lautet:

Gegeben ist die $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodische Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq x<2\pi \end{eqnarray*}$

Bestimme das n-te Fourierpolynom.

Mehr steht dort nicht ... unglücklich

unglücklich

05.09.2016, 21:33

Steffen Bühler

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Eben. Mal Dir mal diese Funktion von 0 bis 2pi hin. Und dann setze sie periodisch fort. Siehst Du das? Sie ist nämlich weder gerade noch ungerade! Sie bleibt über Null. Daher kannst Du hier nicht einfach die Grenzen verschieben!

05.09.2016, 22:12

knacktus

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Jetzt habe ich es verstanden. Danke für die Hilfe! smile

smile

Wink

05.09.2016, 22:22

knacktus

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Doch noch eine Frage.
Ist es also generell sinnvoller die Integrale immer konkret auszuwerten um sollche Fehler direkt zu vermeiden oder wie macht ihr das?

Viele Grüße smile

smile

06.09.2016, 09:34

Steffen Bühler

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Ich schau mir die zu transformierende Funktion auf jeden Fall erst mal in Ruhe an, im Kopf oder auf dem Schmierzettel. Dann seh ich schon, ob sie gerade oder ungerade ist oder (wie in diesem Fall!) durch senkrechtes Verschieben auf eine dieser Eigenschaften gebracht werden kann. Denn es ist natürlich angenehm, auf das Berechnen eines Koeffizienten verzichten zu können.

Viele Grüße
Steffen

06.09.2016, 11:26

knacktus

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Hallo, ich nehme an das man mit $\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ definiert im Intervall $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 2\pi \end{eqnarray*}$ die Funktion um $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ nach unten verschiebt. Dann erhält man eine ungerade Funktion oder?

$\begin{eqnarray*} f(x)=x-\pi \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 2\pi \end{eqnarray*}$

Wie sieht es denn bei der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=(x-\frac{\pi}{2})^2 \end{eqnarray*}$ definiert in $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq\pi \end{eqnarray*}$

Kann ich hier direkt sagen die Funktion sei gerade oder muss man hier auch verschieben? verwirrt

verwirrt

Viele Grüße

06.09.2016, 11:30

Steffen Bühler

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Beides richtig: im ersten Fall ensteht eine ungerade Funktion, und Du hast auch gleich Dein a0 als Abfallprodukt. Im zweiten liegt eine gerade Funktion vor.

06.09.2016, 11:34

knacktus

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Dankeschön das hat mir schon super geholfen. Eine Frage bleibt aber noch. Wir haben in der Schule gelernt das eine Funktion genau dann gerade ist, wenn ihr Funktionsgraph symmetrisch zur y-Achse ist. Das ist in dem Fall aber doch garnicht der Fall?
Zu was ist die Funktion dann "Achsensymmetrisch"?

Viele Grüße smile

smile

06.09.2016, 11:38

Steffen Bühler

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Der angegebene Funktionsauschnitt selbst ist natürlich nicht gerade, wohl aber seine $\begin{align*} \pi \end{align*}$ -periodische Fortsetzung. Und nur um die geht es. Das ist f(x).

06.09.2016, 11:46

knacktus

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Der Funktionsgraph wird aber doch nie an der y-Achse gespiegelt egal welche Fortsetzung ich betrachte?

Weil $\begin{eqnarray*} f(x)=(x-\frac{\pi}{2})^2 \end{eqnarray*}$ periodisch ist und gerade darf demnach auch die Integrationsgrenze verschoben werden. Dann müsste der $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ Koeffizient Null sein?

Viele Grüße smile

smile

06.09.2016, 11:58

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von knacktus
Der Funktionsgraph wird aber doch nie an der y-Achse gespiegelt egal welche Fortsetzung ich betrachte?

Das verstehe ich nicht. Mal Dir doch mal ein paar Parabelbögen hin, links und rechts daneben. Das ist doch wunderschön achsensymmetrisch!

Zitat:

Original von knacktus
Weil $\begin{eqnarray*} f(x)=(x-\frac{\pi}{2})^2 \end{eqnarray*}$ periodisch ist und gerade

Vorsicht! Das hat schon im Ursprungsposting zu großer Verwirrung geführt, wie Du gesehen hast. Diese Funktion ist weder periodisch noch gerade. Die $\begin{align*} \pi \end{align*}$ -periodische Fortsetzung ist es aber.

Zitat:

Original von knacktus
Dann müsste der $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ Koeffizient Null sein?

So ist es.

06.09.2016, 12:23

knacktus

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Graph ist hier: picload.org/image/rrwcgiia/parabel.jpg

Die Parabel wird allerdings nicht an der y-Achse gespiegelt sondern eine eindere Funktion? verwirrt

verwirrt

Bei der ersten Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x-\pi \end{eqnarray*}$ wird die $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ periodische Fortsetzung im Ursprung gespiegelt.

In meinen Unterlagen steht noch das man von den Fourierkoeffizienten jeweils die geraden und ungeraden Anteile der Funktion nur zu betrachten braucht. Also:

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac{2}{T}\int_0^{T}f_g(x)\cos(k\omega x)dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_k=\frac{2}{T}\int_0^{T}f_u(x)\sin(k\omega x)dx \end{eqnarray*}$

Im ersten Beispiel für $\begin{eqnarray*} f(x)=x-\pi \end{eqnarray*}$ wäre das $\begin{eqnarray*} f_u(x)=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_g(x)=-\pi \end{eqnarray*}$

Ist das sinnvoller damit zu rechnen? Das sind zig Formeln und ich weiß noch nicht so genau wann welche anwendbar ist...

Viele Grüße smile

smile

06.09.2016, 12:43

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab Deine Skizze mal als Anhang für die Nachwelt reingestellt.

Ja, so sieht die zu transformierende Funktion aus. Und die ist doch achsensymmetrisch, wie Du siehst. Du kannst einen Spiegel auf die y-Achse stellen, dann sieht sie genauso aus.

Vielleicht ist die Ausdrucksweise "sie wird gespiegelt" verwirrend. Da wird nichts aktiv gespiegelt, der Parabelbogen wird lediglich links und rechts ins Unendliche fortgesetzt. Und dabei entsteht in diesem Fall eben eine solche gerade Funktion.

Deine anderen Formeln sehe ich zum ersten Mal, muss ich zugeben. Natürlich sind sie korrekt, aber ich konnte bisher ganz gut ohne sie leben.

Wie gesagt, schau, dass Du den Transformanden irgendwie durch senkrechtes Verschieben gerade oder ungerade bekommst, falls er's nicht schon ist. Mehr Vereinfachen ist nur fehleranfällig, finde ich.

06.09.2016, 12:57

knacktus

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Hallo, meinst du einen Spiegel bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ also im Ursprung oder bei jedem $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ eine senkrechte Gerade ziehen und das ist dann die Spiegelung an der jeweiligen y-Achse?

Meinst du die y-Achse die senkrecht bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ verläuft oder jede "y-Achse" die bei einem Vielfachen von $\begin{eqnarray*} \pi/2 \end{eqnarray*}$ verläuft?
Bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ wird die Parabel doch nichtgespiegelt sondern nur eine Seite des Parabelbogens während bei den Stellen $\begin{eqnarray*} \pi/2 \end{eqnarray*}$ die Parabel gespiegelt wird.

Welche Spiegelung betrachtest du hier? Das ist doch garnicht eindeutig?

Viele Grüße smile

smile

06.09.2016, 13:01

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Einen Spiegel bei x=0. Das und nur das ist die Voraussetzung für eine gerade Funktion.

Beziehungsweise der Zusammenhang f(x)=f(-x). Und das ist bei dem unendlich fortgesetzten Parabelbogen sicher der Fall.

06.09.2016, 13:05

knacktus

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Ok, vielen Dank. Ich denke jetzt ist alles klar. Falls noch eine Frage aufkommt melde ich mich nochmal.

Schöne Grüße Wink

Wink

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