Ordnung der Konjugationsklasse

05.09.2016, 22:59	Julia 004	Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnung der Konjugationsklasse Meine Frage: Sei G = $\begin{eqnarray} GL_{3} \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} F_{2} \end{eqnarray}$ ) . Finde alle Konjugationsklassen der Ordnung 7 in G. Meine Ideen: Durch einen Tipp weiß ich, dass das Minimalpolynom einer Matrix der Ordnung 7 X^7-1 teilt. Wie kann ich zunächst X^7-1 in irreduzible Faktoren zerlegen?
07.09.2016, 14:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie immer ist $\begin{align} X^7 - 1 = \left( X-1 \right) \underbrace{\left( X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X + 1 \right)}_{g(X)} \end{align}$ Offenbar besitzt $\begin{align} g(X) \end{align}$ keine Nullstellen und spaltet damit keinen linearen Faktor ab. Jetzt könnte es einen irreduziblen Faktor zweiten Grades abspalten. Von den vier möglichen Polynomen zweiten Grades ist nur $\begin{align} X^2 + X + 1 \end{align}$ irreduzibel. Man sieht sofort $\begin{align} g(X) = X^6 + (X^2 + X + 1) X^3 + (X^2 + X + 1) = X^6 + (X^2 + X + 1) (X^3 + 1) \end{align}$ Und $\begin{align} X^6 \end{align}$ ist nicht durch $\begin{align} X^2 + X + 1 \end{align}$ teilbar. Es geht also nicht weiter. Dann bleibt nur noch der Fall, daß $\begin{align} g(X) \end{align}$ in zwei irreduzible Polynome dritten Grades zerfällt (oder daß $\begin{align} g(X) \end{align}$ selber irreduzibel ist). Von den acht Polynomen dritten Grades sind nur zwei irreduzibel, nämlich $\begin{align} u(X) = X^3 + X^2 + 1 \end{align}$ und $\begin{align} v(X) = X^3 + X + 1 \end{align}$ , denn diese besitzen keine Nullstellen. In $\begin{align} \left( X^3 + X^2 + 1 \right)^2 \end{align}$ und $\begin{align} \left( X^3 + X + 1 \right)^2 \end{align}$ darf man wegen der Charakteristik 2 gliedweise quadrieren. Dabei entstehen drei Summanden, niemals also $\begin{align} g(X) \end{align}$ . Was jetzt noch sein könnte, ist $\begin{align} g(X) = u(X) \cdot v(X) \end{align}$ . Einfach nachrechnen. Wenn auch das schiefgeht, dann ist $\begin{align} g(X) \end{align}$ selbst irreduzibel.
07.09.2016, 15:19	Julia 004	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok vielen Dank!
07.09.2016, 15:30	Julia 004	Auf diesen Beitrag antworten »
Das zeige ich ja durch: 1. u(x)= X^3 +X^2 + 1 ist keine Einheit und 2. lässt sich als Produkt einer Einheit und einem anderen Element der Gruppe schreiben. Ich finde bereits 1 schwer zu zeigen, da ich mich ja in $\begin{eqnarray} GL_{3} \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} F_{2} \end{eqnarray}$ ) befinde. Wie kann ich denn dann zeigen ob u(x) eine Einheit ist, bzw. wie kann ich das widerlegen?

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