Sinus Transformation

06.09.2016, 11:40	Dukkha	Auf diesen Beitrag antworten »
Sinus Transformation Hallo, Ich versuche die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray} Y=\sin(X) \end{eqnarray}$ zu berechnen, wobei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ die Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray} [0,2\pi] \end{eqnarray}$ besitzt. Mit dem Ansatz $\begin{eqnarray} P(\sin(X)\leq t)=P(X\leq \arcsin(t)) \end{eqnarray}$ komme ich nicht sehr weit, da $\begin{eqnarray} \sin \end{eqnarray}$ steigend und fallend ist. Also versuche ich die Dichte zu berechnen: $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(f(\sin(X))=\int\limits_0^{2\pi}f(\sin(x))\frac{1}{2\pi}\mathrm{d}x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=\sin(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \arcsin(y)=x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathrm{d}x=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\mathrm{d}y \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} \sin(2\pi)=0 \end{eqnarray}$ weiss ich nicht so recht, ob die Integralgrenzen bleiben. $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(f(\sin(X))=\int\limits_0^{2\pi}f(y)\frac{1}{2\pi}\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\mathrm{d}y \end{eqnarray}$ Die Verteilungsfunktion wäre dann $\begin{eqnarray} F(t)=\frac{\arcsin(t)-\arcsin(0) }{2\pi} \end{eqnarray}$ aber ich glaube das ist falsch.
06.09.2016, 11:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Schauen wir uns das mal an, am Beispiel $\begin{align} t=0.3 \end{align}$ (grün) sowie $\begin{align} t=-0.7 \end{align}$ (blau): Ersteres steht für $\begin{align} 0\leq t\leq 1 \end{align}$ , da ist $\begin{align} P(\sin(X) \leq t) = P(0\leq X\leq \arcsin(t)) + P(\pi-\arcsin(t)\leq X\leq 2\pi) = \frac{\pi+2\arcsin(t)}{2\pi} \end{align}$ . Letzteres steht für $\begin{align} -1\leq t<0 \end{align}$ , dort ist $\begin{align} P(\sin(X) \leq t) = P(\pi-\arcsin(t)\leq X\leq 2\pi+\arcsin(t)) = \frac{\pi+2\arcsin(t)}{2\pi} \end{align}$ , siehe da, dieselbe Endformel.

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