Normalverteilung,Lindenberg, Momente

06.09.2016, 10:23

StrunzMagi

Normalverteilung,Lindenberg, Momente

Hallo,
Wir haben den Satz von Lindenberg gezeigt - dabei verstehe ich einen Schritt nicht:
Sei $\begin{eqnarray*} Y_{n,i} \sim \mathcal{N} (0, \sigma_{n_i}^2) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} (1 \le i \le n, n \in \mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n \sigma_{n,j}^2=1 \end{eqnarray*}$
Wie folgt: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n E(|Y_{n,i}|^3)= \sum_{i=1}^n \sigma_{n,i}^3 \sqrt{\frac{8}{\pi}} \le max(\sigma_{n,i}) \sqrt{\frac{8}{\pi}} \end{eqnarray*}$

Ich dachte man transferiert das vlt. auf die Standardnormalverteilung.
$\begin{eqnarray*} \frac{Y_{n,j}}{\sigma_{n,j}^2} \sim \mathcal{N} (0,1) \end{eqnarray*}$ dort kenne ich zwar die Standardmomente aber ich weiß nicht ob ich daraus etwas schließen kann - denn der ditte Moment der Standardnormalverteilung ist 0.
LG,
MaGi

06.09.2016, 12:31

HAL 9000

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Mit Substitution $\begin{align*} t=\frac{x^2}{2\sigma^2} \end{align*}$ , also $\begin{align*} x=\sqrt{2\sigma^2t} \end{align*}$ und damit $\begin{align*} \dd x = \sqrt{\frac{\sigma^2}{2t}}~ \dd t \end{align*}$ folgt für eine normalverteilte Zufallsgröße $\begin{align*} X\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2) \end{align*}$

$\begin{align*} E\left( |X|^r \right) = \frac{2}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \int\limits_0^{\infty} x^r e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} ~ \dd x = 2^{\frac{r}{2}} \sqrt{\frac{1}{\pi}} \sigma^r\int\limits_0^{\infty} t^{\frac{r-1}{2}} e^{-t} ~ \dd t = 2^{\frac{r}{2}} \sqrt{\frac{1}{\pi}}\sigma^r\cdot \Gamma\left( \frac{r+1}{2} \right) \end{align*}$

Insbesondere heißt das für $\begin{align*} r=3 \end{align*}$ :

$\begin{align*} E\left( |X|^3 \right) = \sqrt{8} \sqrt{\frac{1}{\pi}}\sigma^3\cdot \Gamma(2) = \sqrt{\frac{8}{\pi}} \sigma^3 \end{align*}$ .

07.09.2016, 13:48

StrunzMagi

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Achso, mit der Gammafunktion funktioniert das! Die habe ich nicht gesehen, danke!

Vielen Dank, so hab ich die Abschätzung verstanden.

LG,
MaGi

07.09.2016, 13:53

HAL 9000

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Speziell für ganzzahlige Exponenten $\begin{align*} r \end{align*}$ kann man es unter Nutzung der Doppelfakultät !! auch so schreiben:

$\begin{align*} E\left( |X|^r \right) = \sigma^r\cdot (r-1)!!\cdot \begin{cases} 1 &\;\mbox{falls $r$ gerade}\\ \sqrt{\frac{2}{\pi}} &\;\mbox{falls $r$ ungerade}\end{cases} \end{align*}$ .

P.S.: Ach ja, eins noch - wird von mir erwartet: Standard Augenzwinkern

07.09.2016, 14:20

StrunzMagi

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Stimmt, die Doppelfakultät ist mir schon bei den Momenten der Standardnormalverteilung untergekommen.
Aus den Momenten der Standardnormalverteilung kann man aber nicht die Momente der Normalverteilung mit verschiedenen Erwartungswert und Varianz gewinnen? (Außer natürlich beim ersten Moment - den Erwartungswert der linear ist)

P.S.: Natürlich ausgebessert.
LG,
MaGi

07.09.2016, 14:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von StrunzMagi
Aus den Momenten der Standardnormalverteilung kann man aber nicht die Momente der Normalverteilung mit verschiedenen Erwartungswert und Varianz gewinnen?

Doch, kann man: Jede normalverteilte Zufallsgröße $\begin{align*} X\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{align*}$ ist ja verteilungsgleich mit $\begin{align*} \mu+\sigma Z \end{align*}$ mit einer standardnormalverteilten Zufallsgröße $\begin{align*} Z \end{align*}$ . Daher ist

$\begin{align*} E(X^r) = E\left((\mu+\sigma Z)^r\right) = E\left( \sum_{k=0}^r \binom{r}{k} \mu^{r-k}\sigma^k Z^k \right) = \sum_{k=0}^r \binom{r}{k} \mu^{r-k}\sigma^k E\left( Z^k \right) \end{align*}$ .

07.09.2016, 15:05

StrunzMagi

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Vielen Dank für deine Antworten Augenzwinkern

LG,
MaGi

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