Mit Summen rechnen

06.09.2016, 17:44

jule_x

Mit Summen rechnen

kann jemand über meinen Rechenweg gucken, bitte?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} (3k+2) = 3\sum\limits_{k=1}^{n}k + \sum\limits_{k=1}^{n}2 = (mit arithm. Sum.) = 3\frac{n(n+1)}{2} + 2n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^kx^{2k} \end{eqnarray*}$
bei dem letzten weiß ich nicht wie ich das auseinander ziehen soll oder so

06.09.2016, 17:48

jule_x

Auf diesen Beitrag antworten »

bei der ersten Summe hab ich den Fehler gefunden Big Laugh

jetzt bräuchte ich nur noch einen Ansatz für zwei!

06.09.2016, 17:52

adiutor62

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Mit Summen rechnen
Du könntest zwei Teilsummen bilden für eine für positive k und eine für negative k.

06.09.2016, 17:58

jule_x

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, das klingt gut. aber wie mache ich das, dass die positive summe bei geraden k ist und die negative summe bei ungeraden k?

hab noch eine Frage zu einer anderen Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} 2^k - \sum\limits_{k=-1}^{n-2} 2^{k+1} = \sum\limits_{k=1}^{n} 2^k - \sum\limits_{k=1}^{n} 2^{k-1} \end{eqnarray*}$
hier würde sich ja geometrische Reihe anbieten, aber die fängt erst bei 0 an
wenn ich eine indextransformation durchführe, hab ich bei n aber n-1 stehen und das hilft mir auch nicht weiter.

06.09.2016, 18:30

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal zur zweiten Aufgabe des Ausgangspostings: Es ist $\begin{align*} (-1)^kx^{2k} = (-1)^k (x^2)^k = (-x^2)^k \end{align*}$ , und daher geht es hier um die Partialsumme einer geometrischen Reihe.

06.09.2016, 18:53

jule_x

Auf diesen Beitrag antworten »

oh, ich bin gar nicht auf die idee gekommen potenzgesetze anzuwenden Big Laugh

hab da jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{1-(-x^2)^{n+1}}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

& wie verfahre ich jetzt mit den anderen summen?

06.09.2016, 18:59

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, wenn die Summe bei k=0 beginnen würde ... tut sie aber nicht, sie beginnt bei k=1.

06.09.2016, 19:05

jule_x

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n-1} 2^{k+1} - \sum\limits_{k=0}^{n-1} 2^{k} \end{eqnarray*}$

so tut sie es aber Big Laugh

die Summen zusammen zu fassen hilft ehrlich gesagt auch nicht: (ich lass kurz das Summenzeichen weg, muss zum Training)

2^k+1 - 2^k = 2^k*2 - 2^k = 2^k(2-1) = 2^k

kann doch auch nicht sein?

06.09.2016, 19:09

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich hatte ich noch von $\begin{align*} \sum\limits_{k=1}^n (-1)^kx^{2k} = \sum\limits_{k={\color{red}1}}^n (-x^2)^k \end{align*}$ gesprochen...

06.09.2016, 20:13

jule_x

Auf diesen Beitrag antworten »

Da hab ich mich oben verschrieben. Auf meinem Zettel startet k bei 0. Tut mir leid, dass ich das so kompliziert bzw umständlich mache

06.09.2016, 21:15

jule_x

Auf diesen Beitrag antworten »

wie gehe ich nun mit den unterschiedlichen indexes um? kann man da etwas rausziehen oder so?

06.09.2016, 21:19

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich dich richtig verstehe, dann redest du jetzt über

Zitat:

Original von jule_x
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} 2^k - \sum\limits_{k=-1}^{n-2} 2^{k+1} = \sum\limits_{k=1}^{n} 2^k - \sum\limits_{k=1}^{n} 2^{k-1} \end{eqnarray*}$

Anscheinend hast du hier rechts eine Indexverschiebung um 2 durchgeführt - einleuchtender wäre eine um 1 gewesen, weil dann der Summand angeglichen ist:

$\begin{align*} \sum_{k=1}^n 2^k - \sum_{k=-1}^{n-2} 2^{k+1} = \sum_{k=1}^n 2^k - \sum\limits_{k=0}^{n-1} 2^k = 2^n - 2^0 = 2^n - 1 \end{align*}$ ,

denn die Summanden $\begin{align*} k=1,\ldots,n-1 \end{align*}$ sind in beiden Summen vertreten und löschen sich daher bei der Differenzbildung gegenseitig aus. Nach diesen vorgenommenen Auslöschungen bleiben nur Summand $\begin{align*} k=n \end{align*}$ von der vorderen Summe und $\begin{align*} k=0 \end{align*}$ von der hinteren Summe übrig.

Neue Frage »

Antworten »

Mit Summen rechnen

Verwandte Themen