Volumen berechnen

06.09.2016, 18:49

voluminaa

Volumen berechnen

Meine Frage:
Hallo, wie kann ich das Volumen von

$\begin{eqnarray*} A:=\left\{0\leq x\leq y\leq L\right\} \end{eqnarray*}$ berechnen, also

$\begin{eqnarray*} \int_A d(x,y) \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Habe noch keine Idee

06.09.2016, 18:54

HAL 9000

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Das Volumen dieser Dreiecksfläche dürfte gleich Null sein. Augenzwinkern

06.09.2016, 18:59

voluminaa

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Aber mit Volumen meint man doch nicht unbedingt etwas Dreidimensionales oder, ich habe mir gedacht, dass man hier

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^L\int_{0}^{y}\, dx\, dy \end{eqnarray*}$ berechnen muss?

06.09.2016, 19:03

HAL 9000

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Volumen ohne Attribut = Rauminhalt.

Wenn du den Flächeninhalt meinst, solltest du zumindest von zweidimensionalen Volumen sprechen.

Zitat:

Original von voluminaa
ich habe mir gedacht, dass man hier

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^L\int_{0}^{y}\, dx\, dy \end{eqnarray*}$ berechnen muss?

Ja, passt, dann rechne es mal aus!

06.09.2016, 19:04

voluminaa

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okay, sorry. ich sage einfach immer salopp volumen aber du hast natürlich recht

da kommt dann $\begin{eqnarray*} L^2/2 \end{eqnarray*}$ raus.

by the way: warum ist das eine dreiecksfläche?

06.09.2016, 19:07

HAL 9000

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Zitat:

Original von voluminaa
warum ist das eine dreiecksfläche?

Na skizziere die Menge doch mal in der xy-Ebene: Es ist ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck mit den drei Eckpunkten (0,0), (0,L) und (L,L). Auf die Weise könnte man dann auch den gesuchten Flächeninhalt mit Mittelstufenkenntnissen berechnen. Augenzwinkern

06.09.2016, 20:13

voluminaa

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Okay, jetzt sehe ich es. Freude

Darf ich hier noch eine weitere Frage stellen, die mit dem obigen zu tun hat?

Also eine Verallgemeinerung ist es,
$\begin{eqnarray*} A_n:=\left\{0\leq x_1\leq x_2\leq\ldots\leq x_n\leq L; 0\leq y_1\leq y_2\leq\ldots\leq y_n\leq L\right\} \end{eqnarray*}$

zu betrachten. Da ist das Volumen dann $\begin{eqnarray*} V(A_n)=L^{2n}/(n!)^2 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt habe ich eine Aussage, die ich nicht nachvollziehen kann.

Ich zitiere das mal!

Jede Integration über $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ kann durch eine Integration des symmetrisierten Integranden über $\begin{eqnarray*} L^{2n} \end{eqnarray*}$ mit anschließender Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} (n!)^{-2} \end{eqnarray*}$ ersetzt werden, das heißt

$\begin{eqnarray*} \int_{A_n}f(K_n)dx^ndy^n = \frac{1}{(n!)^2}\int_{L^{2n}}f_{\text{sym}}(K_n)dx^ndy^n \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} K_n \end{eqnarray*}$ Konfigurationen aus $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ sind.

Wäre es möglich, mir das zu erklären? verwirrt

06.09.2016, 20:59

HAL 9000

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Du verkomplizierst die Sache zusätzlich, indem du gleich zwei solche $\begin{align*} n \end{align*}$ -Tupel (x und y) betrachtest, statt erstmal nur einen... unglücklich

Deshalb hier erstmal nur x: Mit "symmetrisierten" Integranden meinst du offenbar eine Funktion $\begin{align*} f(x_1,\ldots,x_n) \end{align*}$ , wo der Funktionswert nicht von der genauen Reihenfolge der $\begin{align*} n \end{align*}$ Argumente abhängt, sondern nur davon, welche $\begin{align*} n \end{align*}$ Werte das sind. D.h., für alle $\begin{align*} 0\leq x_1\leq \ldots\leq x_n\leq L \end{align*}$ sowie beliebige Permutationen $\begin{align*} \pi:\;\{1,\ldots,n\}\to \{1,\ldots,n\} \end{align*}$ gilt

$\begin{align*} f(x_1,\ldots,x_n) = f(x_{\pi(1)},\ldots,x_{\pi(n)}) \end{align*}$ .

Mit $\begin{align*} \mathcal{L}:=[0,L] \end{align*}$ ist dann

$\begin{align*} \mathcal{L}^n = \bigcup_{\pi\in S_n} B_{\pi} \end{align*}$ mit $\begin{align*} B_{\pi}:=\left\{ (x_1,\ldots,x_n) \bigm| 0\leq x_{\pi(1)} \leq \ldots \leq x_{\pi(n)}\leq L \right\} \end{align*}$ ,

denn für jedes $\begin{align*} (x_1,\ldots,x_n)\in \mathcal{L}^n \end{align*}$ gibt es eine Permutation, so dass die derart umgestellten Komponenten aufsteigend geordnet sind. Diese Vereinigung ist zwar nicht disjunkt, aber die Schnittmengen sind alle nur von niedrigerer als n-ter Dimension, und tragen damit nichts zum Integralwert bei. D.h., es folgt

$\begin{align*} \int\limits_{\mathcal{L}^n} f(x_1,\ldots,x_n) ~ \dd x^n = \sum_{\pi\in S_n} \int\limits_{B_{\pi}} f(x_1,\ldots,x_n) ~ \dd x^n \stackrel{Sym}{=} \sum_{\pi\in S_n} \int\limits_{B_{\pi}} f(x_{\pi(1)},\ldots,x_{\pi(n)}) ~ \dd x^n \stackrel{!!!}{=} n!\cdot \int\limits_{B_{id}} f(x_1,\ldots,x_n) ~ \dd x^n \end{align*}$ ,

dabei kennzeichnet $\begin{align*} S_n \end{align*}$ wie üblich die Menge aller solchen Permutationen.

EDIT: Korrektur der schlampigen Mengenbezeichnungen.

06.09.2016, 21:07

voluminaa

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Danke für deine Antwort!
Ich habe eine kleine Zwischenfrage, bevor ich versuche, das besser zu verstehen.

Mich irritiert das $\begin{eqnarray*} L^{2n} \end{eqnarray*}$ bzw. hier das $\begin{eqnarray*} L^n \end{eqnarray*}$ . L ist doch hier eine Zahl oder?

Oder ist das nicht das L aus der Definition von $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ ?

06.09.2016, 21:13

HAL 9000

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Ja Ok, das ist etwas schlampig - die exakte Bezeichnung muss wohl $\begin{align*} [0,L]^n \end{align*}$ lauten. Augenzwinkern

06.09.2016, 21:46

voluminaa

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Zwei Fragen:

(1) Wieso sind Schnittmengen von niedrigerer als n-ter Dimension.

Wenn ich das richtig sehe, sind in den Schnittmengen Tupel enthalten, wo zwei oder mehr Einträge identisch sind.

(2) Am Ende ergibt sich als Faktor $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} (n!)^{-1} \end{eqnarray*}$ . Ist da ein Fehler in dem Zitierten?

06.09.2016, 21:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von voluminaa
Wenn ich das richtig sehe, sind in den Schnittmengen Tupel enthalten, wo zwei oder mehr Einträge identisch sind.

Eben das ist der Grund.

Zitat:

Original von voluminaa
(2) Am Ende ergibt sich als Faktor $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} (n!)^{-1} \end{eqnarray*}$ . Ist da ein Fehler in dem Zitierten?

Kein Fehler. Ich kann ja noch die letzte Zeile bei mir durch $\begin{align*} n! \end{align*}$ dividieren, um es auf die Gleichung

$\begin{align*} \int\limits_{B_{id}} f(x_1,\ldots,x_n) ~ \dd x^n = \frac{1}{n!}\cdot \int\limits_{\mathcal{L}^n} f(x_1,\ldots,x_n) ~ \dd x^n \end{align*}$

zu bringen.

06.09.2016, 21:51

voluminaa

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Achja, sorry, muss den Faktor rüberbringen...

Zu der Sache mit der Dimension:

Wieso tragen Tupel, in denen zwei oder mehr Einträge identisch sind, nicht zum Integral bei; sorry, das ist mir noch nicht klar.

06.09.2016, 21:55

HAL 9000

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Womit wir de facto wieder beim Ausgangspunkt wären:

Zitat:

Original von HAL 9000
Das Volumen dieser Dreiecksfläche dürfte gleich Null sein. Augenzwinkern

Das n-dimensionale Volumen (Lebesgue-Maß) einer Menge, die vollständig in einer niedrigerdimensionalen Hyperebene enthalten ist, ist Null. Kannst du gern beweisen, aber man muss ja nun nicht jedes Mal das Rad neu erfinden.

06.09.2016, 21:57

voluminaa

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Dann ist mein Problem, dass ich nicht sehe, dass hier ein Tupel mit zwei oder mehr gleichen Einträgen niederdimensional ist. Big Laugh

06.09.2016, 22:07

HAL 9000

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Also ehrlich: Es ist

$\begin{align*} \left\{ (x_1,\ldots,x_n)\in \mathcal{L}^n \bigm| \exists i<j:\, x_i=x_j \right\} \subseteq \bigcup\limits_{1\leq i<j\leq n} \left\{ (x_1,\ldots,x_n)\in \mathbf{R}^n \bigm| x_i=x_j \right\} \end{align*}$ ,

und rechts steht die Vereinigung von $\begin{align*} \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} \end{align*}$ solchen Hyperebenen. Hat jede davon Volumen Null, dann auch deren Vereinigung.

06.09.2016, 22:23

voluminaa

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Sorry! Aber ich weiß nicht, wieso das Hyperebenen sind, also Dimension n-1 haben traurig

06.09.2016, 22:31

HAL 9000

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Dann informier dich - mir reicht's jetzt, wie du vom Hundertsten in den Tausendsten Kleinkram kommst. Und das ganze absolut nebensächlich für die Kernaussagen hier.

EDIT: Ok, nachdem ich mich beruhigt habe... Gib einfach $\begin{align*} (n-1) \end{align*}$ Basisvektoren, die den entsprechenden Unterraum (ja, das ist er, nicht nur Hyperebene) aufspannen. Ist $\begin{align*} e_k \end{align*}$ der Einheitsvektor in Richtung der $\begin{align*} k \end{align*}$ -ten Komponente, so haben z.B. die $\begin{align*} (n-1) \end{align*}$ Vektoren $\begin{align*} e_i+e_j \end{align*}$ sowie $\begin{align*} e_k \end{align*}$ für $\begin{align*} k\in\{1,\ldots,n\}\setminus\{i,j\} \end{align*}$ diese Eigenschaft. Jetzt sollte es aber endlich mal klingeln.

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