Direktes Produkt 2er Gruppen (Zentralisator)

06.09.2016, 19:00	Julia 004	Auf diesen Beitrag antworten »
Direktes Produkt 2er Gruppen (Zentralisator) Meine Frage: Sei G = $\begin{eqnarray} G_{1} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} G_{2} \end{eqnarray}$ das direkte Produkt zweier Gruppen $\begin{eqnarray} G_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G_{2} \end{eqnarray}$ . Z.z. Z(G) = Z( $\begin{eqnarray} G_{1} \end{eqnarray}$ ) * Z( $\begin{eqnarray} G_{2} \end{eqnarray}$ ) Meine Ideen: Um ehrlich zu sein weiß ich gar nicht wie ich anfagen soll. Ich weiß, dass G eine Verknüpfund aus $\begin{eqnarray} G_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G_{2} \end{eqnarray}$ ist. somit gilt doch Z( $\begin{eqnarray} G_{1} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} G_{2} \end{eqnarray}$ ) oder? Jetzt bleibt also noch zu zeigen, dass Z( $\begin{eqnarray} G_{1} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} G_{2} \end{eqnarray}$ )= Z( $\begin{eqnarray} G_{1} \end{eqnarray}$ ) * Z( $\begin{eqnarray} G_{2} \end{eqnarray}$ ) Sei $\begin{eqnarray} g_{1} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} g_{1} \end{eqnarray}$ ' $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_{2} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} g_{2} \end{eqnarray}$ ' $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G_{2} \end{eqnarray}$ und ( $\begin{eqnarray} g_{1} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} g_{2} \end{eqnarray}$ )( $\begin{eqnarray} g_{1} \end{eqnarray}$ ' * $\begin{eqnarray} g_{1} \end{eqnarray}$ ') = $\begin{eqnarray} g_{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_{1} \end{eqnarray}$ ' * $\begin{eqnarray} g_{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_{2} \end{eqnarray}$ ' = $\begin{eqnarray} g_{1} \end{eqnarray}$ ' $\begin{eqnarray} g_{1} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} g_{2} \end{eqnarray}$ ' $\begin{eqnarray} g_{2} \end{eqnarray}$ = ( $\begin{eqnarray} g_{1} \end{eqnarray}$ ' * $\begin{eqnarray} g_{2} \end{eqnarray}$ ')( $\begin{eqnarray} g_{1} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} g_{2} \end{eqnarray}$ ) Allerdings weiß ich noch nicht wie bzw. ob mich das weiter bringt. Meine Idee wäre jetzt einfach daraus zu schließen, dass man ja sieht dass $\begin{eqnarray} g_{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_{1} \end{eqnarray}$ ' = $\begin{eqnarray} g_{1} \end{eqnarray}$ ' $\begin{eqnarray} g_{1} \end{eqnarray}$ und analog für $\begin{eqnarray} g_{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_{2} \end{eqnarray}$ ' und daraus kann man dann schließen, dass gilt: Z(G) = Z( $\begin{eqnarray} G_{1} \end{eqnarray}$ ) * Z( $\begin{eqnarray} G_{2} \end{eqnarray}$ )
07.09.2016, 13:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wichtig sind hier die Quantoren. Ein Element $\begin{align} z \end{align}$ liegt dann und nur dann im Zentrum einer Gruppe $\begin{align} G \end{align}$ , wenn $\begin{align} \forall \, g \in G: \ zg = gz \end{align}$ gilt. Du solltest also in deiner Argumentation besonders auf die richtigen Quantoren achten. Mich irritiert der Stern als Zeichen für die Elemente des direkten Produkts. Schreibt ihr das so? Ich hätte da eher ein Kreuz oder die klassische Paarschreibweise erwartet: $\begin{align} G_1 \times G_2 = \left\{ \left( g_1,g_2 \right) \, \left\| \ g_1 \in G_1 , \, g_2 \in G_2 \, \right. \right\} \end{align}$ Das mengentheoretische kartesische Produkt wird zu einer Gruppe, indem man die Gruppenoperationen von $\begin{align} G_1 \end{align}$ und $\begin{align} G_2 \end{align}$ auf die jeweiligen Komponenten überträgt. Ich schreibe $\begin{align} z = \left( z_1 , z_2 \right) \end{align}$ und $\begin{align} g = \left( g_1 , g_2 \right) \end{align}$ . Zu zeigen ist nun $\begin{align} z \in Z(G) \ \ \Leftrightarrow \ \ z_1 \in Z(G_1) \ \wedge \ z_2 \in Z(G_2) \end{align}$ Die Behauptung ausgeschrieben: $\begin{align} \forall \, g \in G: \ zg = gz \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( \ \forall \, g_1 \in G_1: \ z_1 g_1 = g_1 z_1 \ \right) \ \ \wedge \ \ \left( \ \forall \, g_2 \in G_2: \ z_2 g_2 = g_2 z_2 \ \right) \end{align}$ Jetzt zeige diese Äquivalenz. Die Rechnung schreitet ganz natürlich voran. Da ist kein Trick dabei.
07.09.2016, 15:16	Julia 004	Auf diesen Beitrag antworten »
Rückrichtung Ok vielen Dank schonmal. Eine Frage bei der Rückrichtung hätte ich noch. auptung ausgeschrieben: Darf ich von der rechten Seite direkt auf: ( $\begin{eqnarray} z_{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_{1} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} z_{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_{2} \end{eqnarray}$ ) = ( $\begin{eqnarray} g_{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_{1} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} g_{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_{2} \end{eqnarray}$ ) schließen?

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