Beweis durch Widerspruch

07.09.2016, 05:07	demajster	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis durch Widerspruch Meine Frage: Hallo, Ich habe diese Aufgabe durch Widerspruch bewiesen und es wäre nett,wenn jemand mal darüberschauen könnte: Sei $\begin{eqnarray} a,b > 0 \wedge n\in \mathbb N gilt : a > b \Rightarrow a^{n} > b^{n}. \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Beweis der folgenden Aussage: $\begin{eqnarray} a > b \wedge a^{n} \leq b^{n} . \end{eqnarray}$ Sei 9= a,b= 8 und n= 2. $\begin{eqnarray} 1.) 9 > 8 \Rightarrow a > b. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2.) Da 9^{2} > 8^{2} \Rightarrow Widerspruch zu a^{n} \leq b^{n} <br /> <br /> \Rightarrow a > b \wedge a^{n} > b^{n} \end{eqnarray}$ gilt nicht. $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \Rightarrow \end{eqnarray}$ Es gilt: $\begin{eqnarray} a > b \Rightarrow a^{n} > b^{n} \end{eqnarray}$
07.09.2016, 06:00	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
deiner Formulierung fehlen die Allquantoren um eine Aussage zu erhalten.
07.09.2016, 09:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
So funktioniert der Widerspruchsbeweis natürlich nicht: Die Negation der Behauptung besagt, dass es $\begin{align} a,b>0 \end{align}$ und $\begin{align} n\in\mathbb{N} \end{align}$ gibt mit $\begin{align} a>b \end{align}$ und $\begin{align} a^n\leq b^n \end{align}$ - sie besagt NICHT, dass das dann zwingend $\begin{align} a=9,b=8,n=2 \end{align}$ sind. Insofern hast du zwar ein Beispiel ausgewählt, wie diese $\begin{align} a,b,n \end{align}$ aussehen könnten, aber das nur für dieses Beispiel zum Widerspruch zu führen reicht NICHT als Widerspruchsbeweis für alle eventuell in Frage kommenden $\begin{align} a,b,n \end{align}$ .
07.09.2016, 21:05	demajster	Auf diesen Beitrag antworten »
ok,also ich müsste im Prinzip zeigen,dass es überhaupt keine a,b > 0 gibt für die diese Aussage gilt. Man könnte ja eine vollständige Induktion durchführen und das so zum Widerspruch führen oder ?
08.09.2016, 08:40	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit einer 'fast'-trivialen Induktion z.B. lässt sich die Aussage auch direkt beweisen. Auf einen Umweg über Widerspruch, Kontraposition oder so, kannst Du ganz entspannt verzichten.
08.09.2016, 08:42	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Die grundsätzliche Frage ist eigentlich, ob der Ansatz, die Aussage mit einem Widerspruchsbeweis beweisen zu wollen, überhaupt sinnvoll ist. Es geht zwar, aber im Moment brächte ich bei meiner Beweisidee diese Gleichung: $\begin{eqnarray} b^n - a^n = (b - a) \cdot \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} \cdot b^k \end{eqnarray}$ (Mit dieser Gleichung könnte man aber auch die Ungleichung $\begin{eqnarray} a^n > b^n \end{eqnarray}$ direkt beweisen.) Ein Beweis mit der vollständigen Induktion funktioniert in meinen Augen besser, aber auch dieser sollte direkt und nicht über einen Widerspruch geführt werden.
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