Ableitung mit 2 Variablen

07.09.2016, 07:08

luki23

Ableitung mit 2 Variablen

Meine Frage:
Hallo liebe Matheboard community smile

habe ein problem bei einer ableitung..

folgende funktion ist gegeben: z=f(h,z)/sh
wobei f eine nicht näher definierte funktion ist die von den variablen h und z positiv abhängt.

ich soll z nach h ableiten... und steh ziemlich auf der leitung

Meine Ideen:
hab mit der quotientenregel begonnen aber komm nicht auf das richtige ergebnis unglücklich

vielen danke für eure hilfe

07.09.2016, 09:10

Leopold

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Könntest du deine Angaben überprüfen? Da tritt noch die Variable $\begin{align*} s \end{align*}$ auf. Ist das ein Schreibfehler? Und ist es richtig, daß $\begin{align*} z \end{align*}$ auch als zweites Argument von $\begin{align*} f \end{align*}$ auftritt? Und was bedeutet "positiv abhängt"?

Ich habe die Gleichung jetzt einmal so, wie sie da steht, nach $\begin{align*} h \end{align*}$ implizit differenziert und Folgendes erhalten:

$\begin{align*} \frac{\partial z}{\partial h} = \frac{h \cdot \frac{\partial f}{\partial h}(h,z) - f(h,z)}{h^2 s - h \cdot \frac{\partial f}{\partial z}(h,z)} \end{align*}$

Entspricht das dem bei dir angegebenen Ergebnis?

07.09.2016, 09:33

klarsoweit

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Hm. Wahrscheinlich stehe ich auf dem Schlauch, aber im Moment kann ich den Nenner in der Ableitung nicht nachvollziehen. verwirrt

Ohnehin muß man davon ausgehen, daß mit

Zitat:

Original von luki23
folgende funktion ist gegeben: z=f(h,z)/sh

eigentlich $\begin{eqnarray*} z = \frac{f(h,z)}{sh} \end{eqnarray*}$ gemeint ist und nicht $\begin{eqnarray*} z = \frac{f(h,z)}{s} \cdot h \end{eqnarray*}$ . smile

07.09.2016, 09:40

luki232

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bin luki23 hab vorhin die anmeldung nicht fertig durchgeführt (keine email angegeben) deshalb hab ich jz nen neuen account.

also mit 'positiv abhängt' hab ich gemeint dass f_h>0 und f_z >0

ja die angabe ist so richtig, dass f von h und z abhängt. s ist eine konstante

dein ergebnis ist richtig. großes DANKE smile

durch umformen erhalte ich (f_h - sz)/(sh-f_z)
als zweite Formel ist noch gegeben f(h,z)=shz

ist ein gleichungssystem in einem ökonomiemodell.

eine bitte habe ich noch. kannst du mir bitte erklären wie man das implizit ableitet?
lg

07.09.2016, 09:42

luki232

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jap die erste formel stimmt.
bin neu und hab mir den formeleditor noch nicht zu gemüte geführt. *schleunigst nachhol*

07.09.2016, 09:46

HAL 9000

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Bei $\begin{align*} z = \frac{f(h,z)}{sh} \end{align*}$ komme ich durch Ableiten von $\begin{align*} zhs = f(h,z) \end{align*}$ nach $\begin{align*} h \end{align*}$ und umstellen aber eher auf $\begin{align*} \frac{\partial z}{\partial h} = \frac{\frac{\partial f}{\partial h}(h,z) - zs}{hs - \frac{\partial f}{\partial z}(h,z)} \end{align*}$ . verwirrt

Aber vielleicht wirkt mein Kaffee heute nicht so richtig...

EDIT: Ah Ok, ist ja dasselbe, richtig.

07.09.2016, 11:04

luki232

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hab mir ein bisschen was zu implizitem differenzieren angesehen aber kann es noch nicht ganz anwenden.

könnte vl jemand von euch die schritte postem damit ich die implizite ableitung nachvollziehen kann?

07.09.2016, 11:41

HAL 9000

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Wir gehen aus von $\begin{align*} zhs = f(h,z) \end{align*}$ , genauer gesagt $\begin{align*} z(h)\cdot h\cdot s = f(h,z(h)) \end{align*}$ . Jetzt differenzieren wir zunächst mal die linke Seite nach $\begin{align*} h \end{align*}$ , der Einfachheit halber bezeichne ich mit ' die Ableitung nach $\begin{align*} h \end{align*}$ :

$\begin{align*} s \end{align*}$ ist ein konstanter Faktor, der wird mitgeschleift, und $\begin{align*} z(h)\cdot h \end{align*}$ wird nach Produktregel differenziert, das ergibt

$\begin{align*} \left(z(h)\cdot h\cdot s\right)' = \left( z'(h)\cdot h + z(h)\cdot h'\right)s = \left( z'(h)\cdot h + z(h)\right)s \end{align*}$ .

Rechts bilden wir die totale Ableitung nach $\begin{align*} h \end{align*}$ , d.h.

$\begin{align*} (f(h,z(h)))' = \frac{\partial f}{\partial h}(h,z(h))\cdot h' + \frac{\partial f}{\partial z}(h,z(h))\cdot z'(h) = \frac{\partial f}{\partial h}(h,z(h)) + \frac{\partial f}{\partial z}(h,z(h))\cdot z'(h) \end{align*}$ .

Nun diese Ableitungen der linken und rechten Seite gleichsetzen und nach dem ja letztlich gesuchten $\begin{align*} z'(h) \end{align*}$ umstellen.

07.09.2016, 11:59

luki232

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ich versteh nicht was in der 3.zeile im letzten schritt passiert: warum wird aus z(h)*h' dann z(h)
??

07.09.2016, 12:01

luki232

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uupppppss

ist ja ne einfache konstante die abgeleitet wird. soorrry

07.09.2016, 12:10

luki232

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danke für deine ausführung smile

07.09.2016, 12:32

HAL 9000

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Na es ist weniger eine Konstante - die wäre ja abgeleitet gleich Null. Nein, es ist $\begin{align*} h \end{align*}$ abgeleitet nach $\begin{align*} h \end{align*}$ , und das ist $\begin{align*} h'=1 \end{align*}$ .

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