Charakteristische Funktion der Randverteilung

07.09.2016, 15:49

StrunzMagi

Charakteristische Funktion der Randverteilung

Unsere Definition:
Es sei X ein ZV auf dem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal{A}, P) \end{eqnarray*}$ dann ist die zugehörige charakteristische Funktion $\begin{eqnarray*} \phi_X(u):= E(e^{iuX})= \int_{\mathbb{R}} e^{iux} d \mu(x) \end{eqnarray*}$
Für Zufallsvektor $\begin{eqnarray*} X : \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ setzt man $\begin{eqnarray*} \phi_X (u)= E(e^{i <u,X>}): \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

Warum gilt:
Ist $\begin{eqnarray*} X=(X_1,..,X_n) \end{eqnarray*}$ ein Zufallsvektor, so gilt für die Randverteilung $\begin{eqnarray*} X_j \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \phi_{X_j} (u_j)= \phi_X (1,..,1,u_j,1,...1) \end{eqnarray*}$ (an j-te Stelle ist das $\begin{eqnarray*} u_j \end{eqnarray*}$ )

Besitzt X eine gemeinsame Dichte $\begin{eqnarray*} f_X ( x_1 , ... , x_n ) \end{eqnarray*}$ so lässt sich die Rand-Dichte als
$\begin{eqnarray*} f_{X_j} (x_j)= \int_{\mathbb{R}^{n-1}} f(x) dx_1..dx_{j-1} dx_{j+1}...dx_{n} \end{eqnarray*}$ schreiben.

Schaue ich mir die linke Seite an:
$\begin{eqnarray*} \phi_{X_j} (u_j)= E(e^{i x_j u_j})= \int_{\mathbb{R}} e^{i u_j x_j} f_{X_j} (x_j) dx_j = \int_{\mathbb{R}} e^{i u_j x_j}* \int_{\mathbb{R}^{n-1}} f(x) dx_1..dx_{j-1} dx_{j+1}...dx_{n} dx_j=.. \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} x:=(x_1,..,x_n) \end{eqnarray*}$

Wobei ich nun beim nächsten Schritt noch nicht die Rechtfertigung habe um Fubini anzuwenden, denn der Integrand ist ja komplex also nicht positiv.
Wenn deine W-Dichtefunktion auf ganz IR definiert und dort stetig ist, so ist sie aber insbesondere Riemann-integrierbar und daraus folgt die beschränkheit der Dichte. Aber sonst weiß ich nicht wie ich im Integranden die Dichte abschätzen soll..

$\begin{eqnarray*} ..=\int_{\mathbb{R}^n} e^{i u_j x_j} f(x) dx_1...dx_n= \int_{\mathbb{R}^n} e^{i*<u,x_j>} f(x) dx_1...dx_n \end{eqnarray*}$ aber mit $\begin{eqnarray*} u=(0,...,0,u_j,0,..,0) \end{eqnarray*}$ und nicht mit Einser?

07.09.2016, 16:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von StrunzMagi
aber mit $\begin{eqnarray*} u=(0,...,0,u_j,0,..,0) \end{eqnarray*}$

So ist es ja auch richtig, d.h., tatsächlich mit Nullen statt mit Einsen.

Möglicherweise liegt eine Verwechslung mit erzeugenden Funktionen vor.

07.09.2016, 16:59

StrunzMagi

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Okay, dann hat sich der Professor wohl verschrieben.

Es stellt sich aber noch die Frage warum Fubini gerechtfertig ist.
Ich komme da volkommen durcheinander (wegen den anderen Integralen) was ich genau zuzeigen habe, dass es so ausschaut wie hier https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_F...ini-Tonelli.29:

Hier muss ich also mehrmals vertauschen - angefangen mit $\begin{eqnarray*} dx_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} dx_j \end{eqnarray*}$ :
ZZ.: $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}} |e^{iu_jx_j} \int_{\mathbb{R}^{n-2}} f(x) dx_1 .. dx_{j-1} dx_{j+1}...dx_{n-1} | dx_n \end{eqnarray*}$ ist integrabel bezüglich $\begin{eqnarray*} dx_j \end{eqnarray*}$
D.h. $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} |e^{iu_jx_j} \int_{\mathbb{R}^{n-2}} f(x) dx_1 .. dx_{j-1} dx_{j+1}...dx_{n-1} | dx_n dx_j < \infty \end{eqnarray*}$
Da die Dichte sowieso positiv ist und das Integral auch dachte ich:
$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} |e^{iu_jx_j} \int_{\mathbb{R}^{n-2}} f(x) dx_1 .. dx_{j-1} dx_{j+1}...dx_{n-1} | dx_n dx_j =\int_{\mathbb{R}}|e^{iu_jx_j}| \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}^{n-2}} f(x) dx_1 .. dx_{j-1} dx_{j+1}...dx_{n-1} dx_n dx_j =\int_{\mathbb{R}}|e^{iu_jx_j}|f_{X_j} (x_j) dx_j \le \int_{R} f_{X_j} (x_j) dx_j = 1 < \infty \end{eqnarray*}$

D.h. schonmal ich kann vertauschen die letzten beiden Integrationen: $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}} e^{i u_j x_j}* \int_{\mathbb{R}^{n-1}} f(x) dx_1..dx_{j-1} dx_{j+1}...dx_{n} dx_j= \int_{\mathbb{R}} e^{i u_j x_j}* \int_{\mathbb{R}^{n-1}} f(x) dx_1..dx_{j-1} dx_{j+1}...dx_{j} dx_n \end{eqnarray*}$

Aber sonst kann ich ja nicht die Randdichte erreichen beim abschätzen?

07.09.2016, 17:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von StrunzMagi
Es stellt sich aber noch die Frage warum Fubini gerechtfertig ist.

Ich weiß jetzt nicht, wo du da ein Problem siehst:

Es ist $\begin{align*} E \left| e^{i\langle u,X\rangle} \right| = E(1) = 1<\infty \end{align*}$ , und ist der Betrag integrierbar, dann sind es auch Real- und Imaginärteil bzw. auch jeweils Positiv- und Negativteil davon (sofern Messbarkeit erfüllt ist). Auf die letzteren kann man sowieso dann Fubini anwenden, und am Ende wieder alles zusammensetzen.

07.09.2016, 17:53

StrunzMagi

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Ich verstehe nicht was deine Abschätzung mit dem Anwenden von Fubini zu tun hat.
Es geht mir konkret um die Gleichheit:
$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}^{n-1}}e^{i u_j x_j} f(x) dx_1..dx_{j-1} dx_{j+1}...dx_{n} dx_j=\int_{\mathbb{R}^n} e^{i u_j x_j} f(x) dx_1...dx_n \end{eqnarray*}$
Du zeigst $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^n}| e^{i u_j x_j} f(x) |dx_1...dx_n<\infty \end{eqnarray*}$

Um das das Argument mit Positivteil und Negativteil anzwenden braucht man doch auch Voraussetzungen - bekannt unter dem Satz von Tonelli.

07.09.2016, 17:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von StrunzMagi
Ich verstehe nicht was deine Abschätzung mit dem Anwenden von Fubini zu tun hat.

Das hatte ich eigentlich versucht zu beschreiben... war wohl nicht genug. unglücklich

Zitat:

Original von StrunzMagi
Um das das Argument mit Positivteil und Negativteil anzwenden braucht man doch auch Voraussetzungen

Welche denn noch außer Messbarkeit und Existenz des Integral des Betrages? Soweit ich weiß keine weiteren. Und zur Existenz des Integral des Betrages habe ich doch was geschrieben!

08.09.2016, 08:56

StrunzMagi

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Genau die Existenz des Integral des Betrages ist mir nicht ganz klar geworden.
Man kann eigentlich genauso sagen man möchte die Integration bezüglich $\begin{eqnarray*} dx_j \end{eqnarray*}$ und die Integration bezüglich des Produktmaßes $\begin{eqnarray*} dx_{j+1}*....*dx_{n} \end{eqnarray*}$ vertauschen.
Demnach ist zuzeigen, dass
$\begin{eqnarray*} |\int_{\mathbb{R}^{j-1}} e^{i u_j x_j} f(x) dx_1 ... dx_{j-1}| \end{eqnarray*}$ integrabel ist bezüglich des Produktmaßes $\begin{eqnarray*} dx_j *dx_{j+1}*....*dx_{n} \end{eqnarray*}$
D.h. $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^{n-j}} \int_{\mathbb{R}}|\int_{\mathbb{R}^{j-1}} e^{i u_j x_j} f(x) dx_1 ... dx_{j-1}| dx_j *dx_{j+1}*....*dx_{n} < \infty \end{eqnarray*}$ ist zuzeigen.

Das gilt da: $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^{n-j}} \int_{\mathbb{R}}|\int_{\mathbb{R}^{j-1}} e^{i u_j x_j} f(x) dx_1 ... dx_{j-1}| dx_j *dx_{j+1}*....dx_{n} \le \int_{\mathbb{R}^n}| e^{i u_j x_j} f(x) |dx_1...dx_n<\infty= E(|e^{i <u,X>}|)<\infty \end{eqnarray*}$

Kann man das so machen?

LG,
MaGii

08.09.2016, 09:42

HAL 9000

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Zum wiederholten Male - warum sträubst du dich so beharrlich gegen die folgende einfache Variante:

Ist $\begin{align*} |g| \end{align*}$ hinsichtlich des Produktmaßes integrierbar, d.h. $\begin{align*} \int |g(x)| ~ \dd(x_1,\ldots,x_n) < \infty \end{align*}$ , und ist zudem $\begin{align*} g \end{align*}$ messbar, dann ist der Satz von Fubini (also nicht nur Fubini-Tonelli) auf $\begin{align*} \int g(x) ~ \dd(x_1,\ldots,x_n) \end{align*}$ direkt anwendbar!

D.h., beliebige Vertauschung der Integrationsreihenfolge usw., alles was du brauchst!

Und für $\begin{align*} g(x) = e^{i\langle u,x\rangle} f(x) \end{align*}$ mit dann $\begin{align*} |g(x)|=f(x) \end{align*}$ ist diese Voraussetzung nun mal erfüllt, und zwar mit $\begin{align*} \int |g(x)| ~ \dd(x_1,\ldots,x_n) = \int f(x) ~ \dd(x_1,\ldots,x_n) = 1 < \infty \end{align*}$ . Ich verstehe ehrlich gesagt nicht, was du da noch so rumgrübelst. verwirrt

08.09.2016, 17:54

StrunzMagi

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Ich habe Schwierigkeiten, weil man da inneinander tauscht, also das $\begin{eqnarray*} dx_j \end{eqnarray*}$ wird nicht mit den gesamten Produktmaß $\begin{eqnarray*} dx_1...dx_{j-1} dx_{j+1}.. dx_n \end{eqnarray*}$ getauscht sondern nur mit $\begin{eqnarray*} dx_{j+1}.. dx_n \end{eqnarray*}$ und der Rest bleibt stehen.

Ich versuche mich noch einmal zu erklären mit der Voraussetzung, die wir aufgeschrieben haben bei Fubini:

$\begin{eqnarray*} \int f(x_1, x_2) d (P_1 \times P_2)= \int (\int f (x_1, x_2) d P_1(x_1)) dP_2(x_2)= \int( \int f(x_1,x_2) d P_2(x_2)) dP_1 (x_1) \end{eqnarray*}$
gilt wenn f messbar ist und wenn:
$\begin{eqnarray*} |f| \end{eqnarray*}$ integrabel bezüglich des Produktmaßes $\begin{eqnarray*} P_1 *P_2 \end{eqnarray*}$

und hier wäre dann |f|:= $\begin{eqnarray*} |\int_{\mathbb{R}^{j-1}} e^{i u_j x_j} f(x) dx_1 ... dx_{j-1}| \end{eqnarray*}$
und P_1 gleich das lebesguemaß $\begin{eqnarray*} \lambda(x_j) \end{eqnarray*}$ und P_2 gleich das Lebesguemaß $\begin{eqnarray*} \lambda(x_{j+1})*..*\lambda(x_{n}) \end{eqnarray*}$
Und genau das habe ich im letzten Beitrag gemacht.

LG,
MaGi

08.09.2016, 18:09

HAL 9000

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Ja wenn du dir Sorgen machst, ob der für ein Produktmaß mit zwei Faktoren formulierte Fubini auch für beliebig endlich viele Faktoren gültig ist, dann musst du eben noch ein paar Korollare beweisen. Ist mir aber zu todlangweilig. Augenzwinkern

09.09.2016, 09:52

StrunzMagi

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Zu dem Thema werd ich mich noch etwas schlau lesen, danke für die Tipps.

LG,
MaGi

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