Orthogonalität von Vektoren

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ReisKoenig Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalität von Vektoren
Meine Frage:
Hallo, ich nehme zur Zeit an einem Mathe Vorkurs teil, der mich auf das erste Semester an der Uni vorbereitet. Das Thema gerade ist die Norm und die Orthogonalität von Vektoren.

a) Bestimmen Sie alle Vektoren der Länge 1, die orthogonal sind zu

b) Bestimmen Sie einen Vektor der Form , der orthogonal ist zu und

c) Gegeben seien die Punkte in der Ebene (-1,3) und (1,1). Skizzieren Sie den kürzesten Weg von (1,1) zur Gerade von (0,0) nach (-1,3) und bestimmen Sie den zugehörigen Richtungsvektor dieses Weges.

Vielen Dank für alle Antworten und Lösungsvorschläge.
PS: Bitte auch die Lösungsschritte angeben



Meine Ideen:
bei a) und b) nutzt man wahrscheinlich das Skalarprodukt mithilfe von allgemeinen Vektoren ( in diesem Fall ) aber weiter weiß ich auch nicht.

bei c) wüsste ich nicht ganz was ich da tun soll.
Julia 004 Auf diesen Beitrag antworten »

zu a) Weißt du denn was die Formel für das Skalarprodukt ist?
Findet man eigentlich überall (z.B. Wikipedia)
Da du ja den 90° Winkel suchst. Setze cos(90°)=0 . Benutze als Vektor a und als Vektor b.
Durch Umformung solltest du dann auf = kommen und beliebig. Das kannst du dann als Linearkombination aufschreiben.
< >, x R
b) Bei der b bin ich mir selbst nicht ganz sicher, ich glaube da muss man das Kreuzprodukt anwenden.
c) Stelle zunächst eine Geradengleichung auf und finde dann den orthogonalen Vektor zu dieser. Dann lässt sich das ganz einfach skizzieren. Überlege dir dann was dein gesuchter Vektor ist.
ReisKoenig Auf diesen Beitrag antworten »

Bei a) hab ich also raus:
* 0 + * + * ()

b_1 ist beliebig und b2 = b3 ist mir auch klar geworden, aber ich soll ja alle Vektoren bestimmen mit Länge 1 ...
das gelte ja für

sind das alle möglichen Vektoren ?

und bei b) wie soll ich das rechnen? habe echt keine Ahnung kannst du mir das vielleicht vorrechnen?
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Die Länge des Vektors soll 1 sein!
ReisKoenig Auf diesen Beitrag antworten »

also ist es der Betrag des vektors der 1 sein soll... das entspricht doch der länge des vektors .

deine antwort ist jetzt nicht so hilfreich
ReisKoenig Auf diesen Beitrag antworten »

die antwort hilft mir ja sehr viel ..

der betrag eines vektors entspricht der länge also |x| = ,wenn für vektor a =

das ergebnis soll ja 1 ergeben ..
also sind es jetzt alle vektoren mit länge 1 ??
 
 
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast ja bisher die Länge des Vektors noch gar nicht beachtet.
Damit hast du aber eine weitere Einschränkung der Werte.

EDIT: Du hast Vektoren im Raum, also 3 Achsen.
Wie berechnet man da die Länge?
ReisKoenig Auf diesen Beitrag antworten »

aus dem Bsp. von julia wäre es ja so, dass B2 und B3 gleich sein sollen und bei B1 es egal ist, was man da einsetzt, da sowieso 0 rauskommt .. und wurzel aus 1²+1² = 1 bzw. gilt es auch für -1
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ReisKoenig
wurzel aus 1²+1² = 1


verwirrt
ReisKoenig Auf diesen Beitrag antworten »

naja im R³ kommt nur eine variable hinzu also

das wäre ein bsp für die länge

es wäre ein normierter vektor mit der länge 1
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast

Es soll sein:
mit , also:





usw.
ReisKoenig Auf diesen Beitrag antworten »

ja das meinte ich doch Big Laugh aber wie kriege ich alle vektoren heraus ? ich weiß nicht wie ich weiter machen soll
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ReisKoenig
die antwort hilft mir ja sehr viel ..
...

Was meinst du damit? (Ironie? Das wäre unhöflich!)
----------
Zum Thema:

Eines von den beiden "b" kannst du frei wählen, setze z.B. , t reell*; auch
Dann ist , berechne daraus
Somit kann der Vektor , ausgedrückt in dem Parameter erstellt werden.

(*)
Wichtig ist noch, dass die Bedingung für formuliert wird, denn wegen der auftretenden Wurzel ist die Definitionsmenge entsprechend eingeschränkt.

Hilft dir das jetzt mehr? Augenzwinkern

zu b)
Bestimme das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) der beiden gegebenen Vektoren = . Den erhaltenen Vektor dividiere durch die dritte Komponente, damit ist die Forderung erfüllt.

zu c)
Wie konntest du die Hinweise von Julia umsetzen?

mY+
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