Automorphismus Ordnung in Aut(GLn(K))

07.09.2016, 23:45

Julia 004

Automorphismus Ordnung in Aut(GLn(K))

Meine Frage:
Gegeben ist:
f: $\begin{eqnarray*} GL_{n} \end{eqnarray*}$ (K) -> $\begin{eqnarray*} GL_{n} \end{eqnarray*}$ (K)
A->(A $\begin{eqnarray*} ^{-1} ) ^{t} \end{eqnarray*}$
Zunächst ist z.z., dass gegebene Abbildung ein Automorphismus ist. Das habe ich noch hinbekommen.
Jetzt soll zusätzlich noch gezeigt werden, welche Ordnung f als Element von Aut ( $\begin{eqnarray*} GL_{n} \end{eqnarray*}$ (K))hat.

Meine Ideen:
So weit ich weiß ist Aut ( $\begin{eqnarray*} GL_{n} \end{eqnarray*}$ (K)) die Menge aller Automorphismen von einer Gruppe G. In diesem Fall $\begin{eqnarray*} GL_{n} \end{eqnarray*}$ (K)).
Ich verstehe nicht was genau die Ordnung in diesem Fall ist. Bisher kenne ich nur die Ordnung von Elementen und Gruppen, aber nicht von Abbildungen.

08.09.2016, 00:05

10001000Nick1

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RE: Automorphismus Ordnung in Aut ([latex] GL_{n} [/latex](K))

Zitat:

Original von Julia 004
Bisher kenne ich nur die Ordnung von Elementen

Und genau das ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ doch: Ein Element der Automorphismengruppe $\begin{eqnarray*} \operatorname{Aut}(GL_n(K)) \end{eqnarray*}$ .

Wie ist denn die Ordnung eines Gruppenelements definiert?

08.09.2016, 00:29

Julia 004

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Also die Ordnung der Automorphismengruppe ist ja gerade deren Mächtigkeit und die Ordnung eines Elements ist: ord(g) = min {n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N, n>0; g^n=1}

Hier ist somit n gesucht s.d. f^n = 1
Ist somit also ((A $\begin{eqnarray*} ^{-1} ) ^{t}) ^{n} \end{eqnarray*}$ = 1 gesucht?

08.09.2016, 00:39

10001000Nick1

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Mit $\begin{eqnarray*} g^n \end{eqnarray*}$ ist die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -fache Verknüpfung von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ mit sich selbst gemeint. In der Automorphismengruppe ist die Verknüpfung die Komposition (Hintereinanderausführungen) von Abbildungen.

Es ist also $\begin{eqnarray*} f^n=\underbrace{f\circ ... \circ f}_{n\text{-mal}} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f^n(A)=\underbrace{(f\circ ... \circ f)}_{n\text{-mal}}(A) \end{eqnarray*}$ . Überleg nochmal, wie diese Hintereinanderausführung genau aussieht; das ist jedenfalls nicht die n-te Potenz von $\begin{eqnarray*} (A^{-1})^t \end{eqnarray*}$ .

Und dann ist mit 1 das Einselement der Gruppe gemeint. Welches ist das Einselement in der Automorphismengruppe?

08.09.2016, 12:45

Julia 004

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Ich bin mir nicht sicher, ob ich dich richtig verstanden habe, aber
$\begin{eqnarray*} f^n(A)=\underbrace{(f\circ ... \circ f)}_{n\text{-mal}}(A) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \underbrace{(f\circ ... \circ f)}_{n-1\text{-mal}}(A) \end{eqnarray*}$ f(A)
= $\begin{eqnarray*} \underbrace{(f\circ ... \circ f)}_{n-1\text{-mal}}(A) \end{eqnarray*}$ ((A $\begin{eqnarray*} ^{-1} ) ^{t}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \underbrace{(f\circ ... \circ f)}_{n-2\text{-mal}}(A) \end{eqnarray*}$ (((A $\begin{eqnarray*} ^{-1} ) ^{t}) ^{-1}) ^{t} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \underbrace{(f\circ ... \circ f)}_{n-2\text{-mal}}(A) \end{eqnarray*}$ ...

Das 1 Element in der Aut ( $\begin{eqnarray*} GL_{n} \end{eqnarray*}$ (K)) wäre doch die Einheitsmatrix (oder handelt es sich um die Identität? Also das Inverse zu f?)
Das heißt ich habe die Verknüpfung von f immer noch falsch verstanden oder? Weil in meinem Fall hätte A, falls A ungleich der Einheitsmatrix Ordnung unendlich. Da $\begin{eqnarray*} GL_{n} \end{eqnarray*}$ (K) aber beschränkt ist muss auch die Aut( $\begin{eqnarray*} GL_{n} \end{eqnarray*}$ (K)) beschränkt sein und somit jedes Element endliche Ordnung haben.
Vermutlich ist es aber die Identität, also das Einselement oder?
Aber da verstehe ich nicht wie ich bei diesem Homomorphismus drauf kommen soll.

08.09.2016, 13:56

10001000Nick1

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So ganz stimmt das nicht. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{aligned} f^n(A) &= (\underbrace{f\circ ...\circ f}_{n\text{-mal}})(A) \\ &=(\underbrace{f\circ ...\circ f}_{(n-1)\text{-mal}})(f(A)) \\ &= (\underbrace{f\circ ...\circ f}_{(n-1)\text{-mal}})((A^{-1})^t) \\ &= (\underbrace{f\circ ...\circ f}_{(n-2)\text{-mal}})(f((A^{-1})^t)) \end{aligned} \end{eqnarray*}$
usw.

Ist dir klar, warum? Die Komposition der Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit sich selbst hat nichts mit Matrixmultiplikationen zu tun.

Zitat:

Original von Julia 004
Das 1 Element in der Aut ( $\begin{eqnarray*} GL_{n} \end{eqnarray*}$ (K)) wäre doch die Einheitsmatrix (oder handelt es sich um die Identität? Also das Inverse zu f?)

Die Einheitsmatrix kann es nicht sein, denn $\begin{eqnarray*} \operatorname{Aut}(GL_n(K)) \end{eqnarray*}$ enthält gar keine Matrizen, sondern Abbildungen von $\begin{eqnarray*} GL_n(K) \end{eqnarray*}$ auf sich selbst.
Das Einselement ist die identische Abbildung $\begin{eqnarray*} \operatorname{id}_{GL_n(K)} : GL_n(K)\to GL_n(K), A\mapsto A \end{eqnarray*}$ .
Was meinst du mit "Inverse von f"? Die Identität ist das jedenfalls nicht.

Zitat:

Original von Julia 004
Da $\begin{eqnarray*} GL_{n} \end{eqnarray*}$ (K) aber beschränkt ist muss auch die Aut( $\begin{eqnarray*} GL_{n} \end{eqnarray*}$ (K)) beschränkt sein und somit jedes Element endliche Ordnung haben.

Und was verstehst du unter Beschränktheit einer Gruppe? verwirrt

Du suchst also das kleinste $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} f^n=\operatorname{id}_{GL_n(K)} \end{eqnarray*}$ gilt.
Das bedeutet, für alle Matrizen $\begin{eqnarray*} A\in GL_n(K) \end{eqnarray*}$ muss gelten: $\begin{eqnarray*} f^n(A)=\operatorname{id}_{GL_n(K)}(A)=A \end{eqnarray*}$ .

Welches $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist das? Schau nochmal in deine letzte Antwort, da steht es schon fast drin (wenn auch nicht ganz sauber aufgeschrieben). Augenzwinkern

08.09.2016, 15:34

Julia 004

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Ok ich sehe meinen Fehler. n wäre als somit 2.
Mit beschränkt meine ich das die Mächtigkeit meiner Gruppe kleiner unendlich ist, aber das war ungünstig ausgedrückt, sehe ich jetzt auch.
Vielen Dank für deine Hilfe.

08.09.2016, 18:14

10001000Nick1

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2 ist richtig. (Übrigens war n für die Ordnung ungünstig gewählt; das war ja schon die Größe der Matrizen.)

Zitat:

Original von Julia 004
Mit beschränkt meine ich das die Mächtigkeit meiner Gruppe kleiner unendlich ist, aber das war ungünstig ausgedrückt, sehe ich jetzt auch.

Das nennt man dann einfach endliche Gruppe. Augenzwinkern

Abgesehen davon muss $\begin{eqnarray*} GL_n(K) \end{eqnarray*}$ nicht endlich sein (das ist nur bei endlichen Körpern der Fall).

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