Quadrik, Hauptachsentransformation, Mittelpunkt

08.09.2016, 12:26

Mig

Quadrik, Hauptachsentransformation, Mittelpunkt

Hallo Liebe Forenmitglieder,

aus verschiedenen Gründen muss ich eine Aufgabe nachholen. Habe leider seit 3 Jahren kein Mathe mehr und meine Bücher haben mir leider nicht geholfen.

Ich muss eine Hauptachsentransformation(HAT) zu folgender Quadrik erstellen:

$\begin{eqnarray*} 7x^{2} + 7y^{2} + z^{2} - 4xy + 8xz + 8yz =\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Ich bekomme
$\begin{eqnarray*} \lambda _1 = 9 \lambda _2 = 9 \lambda _3 = -3 \end{eqnarray*}$
und damit errechne ich die Eigenvektoren
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} ; \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ;\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

"Großes ekliges rechenexempel" und erhalte :
$\begin{eqnarray*} -3x^{2} +9y^{2} +9z^{2} = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Wenn ich fähig bin eine Tabelle zu lesen ist das ein zweischaliges Hyperboloid

So weit so unspektakulär der zweite Teil macht mir Probleme da wird die angegebene Quadrik verändert und zwar so:

$\begin{eqnarray*} 7x^{2} + 7y^{2} + z^{2} - 4xy + 8xz + 8yz - \frac{x-5y+4z}{\sqrt{6} } = 1 \end{eqnarray*}$

als ein Term hinzu gekommen und die rechte Seite verändert.

Folgende Aufgabe dazu:

Inwiefern unterscheidet sich die Quadrik von der Fläche der ersten?
und
Berechnen Sie den "Mittelpunkt"

Onkel Wolle Alpha hat mir gezeigt, dass die Schalen auseinandergezogen werden allerdings hilft mir das natürlich nicht weiter.

Ich habe keine Ahnung wie ich den Mittelpunkt erechne und habe auch keinen Ansatz zur "Beschreibung der Fläche"

Ich hoffe ihr könnt mir helfen

LG
PS das xyz nach der HAT eigentlich andere Namen haben müssten ist mir bewusst...
Die Lambdas wollen einfach nicht funktionieren, man möge es mir verzeihen

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

09.09.2016, 00:55

outSchool

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RE: Quadrik, Hauptachsentransformation, Mittelpunkt
Hallo Mig,

Zitat:

Original von Mig Wenn ich fähig bin eine Tabelle zu lesen ist das ein zweischaliges Hyperboloid.

Nein, das ist ein einschaliges Hyperboloid. Die Gleichung des einschaligen Hyperboloids in Normalform ist:
$\begin{align*} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{x^{2}}{c^{2}} = 1 \end{align*}$

Deine Lösung ist, wenn du die Reihenfolge der Eigenwerte, wie du sie angibst, einhälst:
$\begin{align*} 9x^{2} + 9y^{2} - 3z^{2} = \frac{3}{4} \end{align*}$

Und die Normalform ist dann nach Umformen:
$\begin{align*} \frac{x^{2}}{\frac{1}{12}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{12}} - \frac{z^{2}}{\frac{1}{4}} = 1 \end{align*}$

Bevor ich zum zweiten Teil komme, noch ein Hinweis zum ersten Teil.
Durch die Diagonalisierung (Eigenwerte berechnen), wird eine Drehung des Koordinatensystems durchgeführt.
Dadurch entfallen die gemischten Terme -4xy, 8xz, 8yz. Im Umkehrschluss heißt das:
Treten in einer Gleichung gemischte Terme auf, so ist die Quadrik gedreht.

Im zweiten Teil kommt folgender Term hinzu:
$\begin{align*} - \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot (x - 5y + 4z) \end{align*}$
Dieser Term repräsentiert die Verschiebung der Quadrik im Koordinatensystem.

Nach Diagonalisierung der Matrix im Teil 2 erhälst du
$\begin{align*} 9x^{2} + 9y^{2} - 3z^{2} = 1 \end{align*}$

und die Normalform
$\begin{align*} \frac{x^{2}}{\frac{1}{9}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{9}} - \frac{z^{2}}{\frac{1}{3}} = 1 \end{align*}$

Aus den beiden Normalformen müsste es jetzt klar sein, wie sich die Flächen der Quadrik unterscheiden.
Wo lag der Mittelpunkt der Quadrik in Teil 1? Wie kann man aus der Verschiebung den Mittelpunkt in Teil 2 berechnen?

$\begin{align*} \end{align*}$
$\begin{align*} \end{align*}$

09.09.2016, 11:58

Mig

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Erstmal Vielen Dank für die Antwort dachte schon es antwortet niemand.

Ja das mit der einschaligen Hyperboloid ist mir auch schon aufgefallen...

Wenn ich das richtig verstanden habe bedeutet ein gemischter Term mit 2 Variablen also:

axy ; bxz und so weiter eine Drehung

und ein Term mit allen drei Variablen:

axyz einer Verschiebung (macht ja auch Sinn...)

Also liegt der Unterschied darin, dass die erste Quadrik größer ist, da die Koeffizienten größer sind?

Mittelpunkt:

Also bedeutet das, dass der Mittelpunkt der ersten Quadrik im Koordinatenursprung ist und der Mittelpunkt der zweiten Quadrik um den Term :

$\begin{eqnarray*} -\frac{x-y+4z}{\sqrt{6} } \end{eqnarray*}$

verschoben ist.

Aber wie stelle ich das als Punkt bzw. Ortsvektor da?

Ich vermute ich brauche ein LGS irgendetwas der Art:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{6} } \begin{pmatrix} -x \\ +5y \\ -4z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit Matrix = Koeffizientenmatrix

Allerdings habe ich das Gefühl das, dass so nicht richtig ist.
Ich weiß auch nicht wie ich die 1 einbauen soll.

oder ist die Verschiebung quasi der Mittelpunkt also

$\begin{eqnarray*} -\frac{x-y+4z}{\sqrt{6} } = 1 \end{eqnarray*}$

und wenn ja wie stelle ich die 1 als Vektor da um daraus ein LGS zu erstellen?

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