Erzeuger von Sl2 Z

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Julia 004 Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeuger von Sl2 Z
Meine Frage:
Sei Z = { ; det(A) = 1, a,b,c,d Z, wobei a,b,c,d die 4 Einträge der Matrix A sind}
1. Z.z. Z ist Untergruppe von R

2. und erzeugen Z

Meine Ideen:
1. habe ich bereits gelöst.
2. Ich bin unsicher wie die Verknüpfung ist, ich dachte eigentlich Multiplikation, denn mit Addition wäre die Summe der Elemente ja nicht mehr in meiner Gruppe. Allerdings verstehe ich nicht, wie ich mit den beiden Matrizen durch Multiplikation z.B. auf die Einheitsmatrix kommen soll.
Meine Idee:
Ich weiß, dass A invertierbar ist, da det(A) ungleich 0, somit sind die Spalten linear unabhängig, der rg(A) also gleich 2. Somit könnte Z doch durch 2 2x2 Matrizen erzeugt werden, die nicht linear abhängig sind und Z oder? Reicht es also die lineare Unabhängigkeit von den beiden Erzeugermatrizen zu zeigen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Verknüpfung ist selbstverständlich die Multiplikation, das hast Du richtig erkannt. Das erste Problem löst sich fast von selbst, denn
Mit linearer Unabhängigkeit haben Matrizengruppen nichts zu tun. Du musst beweisen, dass man jede Matrix als endliches Produkt der beiden Erzeuger und ihrer Inversen darstellen kann.
Tipp 1: Dass man mit diesen beiden mutmaßlichen Erzeugern durch Multiplikation und Inversenbildung die nicht verlässt, hast Du dir sicher schon klar gemacht (wenn nicht, sofort nachholen).
Tipp 2: Multipliziere die beiden Erzeuger mit sich selbst und miteinander (nicht kommutativ !) und bilde die Inversen davon, und dann denke noch ein bißchen darüber nach, was damit alles möglich ist.
Julia 004 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich wäre jetz so vorgegangen:

Sei A = und B =

Seien m,n,y,x Element von Z

Durch Multiplikation von A mit sich selbst, also A^m kann man alle oberen Dreiecksmatrizen von erzeugen mit a=d=1 und b=m
Analog für B lassen sich für B^n alle unteren Dreiecksmatrizen der Form a=d=1 und c=n erzeugen.
Durch A^m*B^n lassen sich die Matrizen

erzeugen

und durch b^n*A^m lassen sich die Matrizen erzeugen.

Durch die Verknüpfung (AB)^x lasssen sich Matrizen der Form mit ad-bc=1 erzeugen

und analog dazu (BA)^y Matrizen der Form mit ad-bc =1

Und durch die Verknüpfung von (AB)^x mit A^m*B^n lasen sich dann alle Matrizen der Form

erzeugen oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Auf meinen 1. Tipp gehst Du nicht ein. Die Antwort auf meinen 2. Tipp ist unsystematisch und unvollständig. Du hast dir nicht einmal die Mühe gemacht, inverse Matrizen zu berechnen. Ein Beweis sieht anders aus. unglücklich
Julia 004 Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp 1 hatte ich schon verstanden, dachte ich zumindest, deshalb bin ich nicht darauf eingegangen.
Meine Überlegung:
det(AB)=det(A) det(B) =1*1 =1 somit wird also die Eigenschaft det =1 erhalten.
Des Weiteren handelt es sich um 2x2 Matrizen, weshalb das Inverse einer matrix A:
1/det(A) * ist. Da a, b, c, d aus Z sind und det(A) = 1 liegen die Inversen Matrizen ebenfalls in .
Außerdem gilt AB=
* = ()
und liegt somit ebenfalls in Z.

Tipp 2:
Tipp 2 ist unsystematisch, weil ich nicht verstehe, wie ich das konkret beweisen kann.
Ich hab das Inverse von A und B berechnet. Z.B. für n=-1 gilt die Eigenschaft von A^n ja auch, analog für B^m mit m=-1.
Ich dachte es wäre besser allgemeine Informationen, die ich herausgefunden habe hinzuschreiben.
Also A^(-1) = und B^(-1) =
AB = und BA =
(AB)^(-1)= und (BA)^(-1) =

Was man also erkennen kann ist, dass (BA)^(-1) bis auf die negativen Vorzeichen von b und c mit (AB) übereinstimmt. Analog bei (AB)^(-1) und BA.

Mir fällt es einfach schwer einen Anfang für den Beweis zu finden, also, dass A und B ganz erzeugen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das wird allmählich besser ... für den weiteren Fortschritt ist es vielleicht nützlich, darüber nachzudenken, welche Elemente genau in enthalten sind, und diese dann durch eine Plausibilitätsüberlegung (anstelle einer vollständigen Induktion) zu konstruieren.
Tipp: Für die Überlegung können Fallunterscheidungen etc. nützlich sein.
 
 
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