"distribution function"?

08.09.2016, 18:41

crazy_enough

"distribution function"?

Meine Frage:
Hi,

auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0,L] \end{eqnarray*}$ betrachte Konfigurationen $\begin{eqnarray*} C_N=\left\{x_1,...,x_N\right\} \end{eqnarray*}$ von N Punkten. Der Konfigurationenraum heiße $\begin{eqnarray*} \Omega_N \end{eqnarray*}$ . Mit $\begin{eqnarray*} p_N \end{eqnarray*}$ sei die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, auf dem Intervall N Punkte zu haben und mit $\begin{eqnarray*} p(C_N) \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit einer Konfiguration.

Wieso ist dann

$\begin{eqnarray*} p_N=\int_{\Omega_N}p(C_N)\, dx^N \end{eqnarray*}$ ?

Und was mich sehr irritiert ist, dass $\begin{eqnarray*} p_N \end{eqnarray*}$ als "distribution function" bezeichnet wird.

Meine Ideen:
Das Integral erinnert mich irgendwie an den Fall im diskreten wenn man einfach über all Möglichkeiten aufsummiert.

08.09.2016, 19:31

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von crazy_enough
und mit $\begin{eqnarray*} p(C_N) \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit einer Konfiguration.

Passt irgendwie nicht zu dem Integral weiter unten. Sicher, dass es nicht die Wahrscheinlichkeitsdichte dieser Konfiguration ist?

08.09.2016, 19:35

crazy_enough

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

genau das habe ich nämlich auch gedacht! Aber von "Dichte" steht da nichts.

$\begin{eqnarray*} p(C_N) \end{eqnarray*}$ wird als "probability of the phase space configurations" bezeichnet, wobei $\begin{eqnarray*} \Omega_N \end{eqnarray*}$ der "phase space" ist. Und dann heißt es wirklich "The distribution function $\begin{eqnarray*} p_N \end{eqnarray*}$ is found by integration of $\begin{eqnarray*} p(C_N) \end{eqnarray*}$ over the phase space $\begin{eqnarray*} \Omega_N \end{eqnarray*}$ ."

08.09.2016, 19:38

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, Physiker nehmen es nicht so genau mit dem Unterschied zwischen Wahrscheinlichkeit und Wahrscheinlichkeitsdichte - so nach dem Motto "ist ja eh aus dem Zusammenhang klar, was jeweils gemeint ist". Augenzwinkern

Sieht ganz nach Thermodynamik aus. Big Laugh

08.09.2016, 19:43

crazy_enough

Auf diesen Beitrag antworten »

Um meine Verwirrung komplett zu machen, steht da dann auch noch

$\begin{eqnarray*} p(C_N)=(1/V_N)p_N \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} V_N \end{eqnarray*}$ "the volume of the phase space allowed for the configuration $\begin{eqnarray*} C_N \end{eqnarray*}$ " ist.

Wird daraus vielleicht klarer, dass $\begin{eqnarray*} p(C_N) \end{eqnarray*}$ als eine Dichte zu verstehen ist?

(Sorry, hätte das schon in meinem ersten Beitrag mit aufschreiben sollen.)

PS: Es hat wirklich einen solchen Hintergrund, wie du vermutest.

08.09.2016, 19:51

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, das dürfte der Spezialfall einer konstanten Dichte sein, d.h., wenn die $\begin{align*} N \end{align*}$ Punkte gleichverteilt in dem zur Verfügung stehenden Konfigurationenraum sind. Findet etwa gar keine Interaktion statt ("ideales Gas"), dann ist einfach $\begin{align*} V_N=L^N \end{align*}$ für ungeordnete $\begin{align*} x_1,\ldots,x_N \end{align*}$ . Betrachtest du allerdings "geordnete" $\begin{align*} 0\leq x_1\leq x_2\leq \ldots \leq x_N\leq L \end{align*}$ , dann ist $\begin{align*} V_N=\frac{L^N}{N!} \end{align*}$ . Wenn ich das gerade so sehe - du hast nicht vorgestern schon gepostet? Augenzwinkern

08.09.2016, 20:02

crazy_enough

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da habe ich wegen Integration irgendeiner Funktion gefragt und jetzt ist $\begin{eqnarray*} p_N(C_n) \end{eqnarray*}$ der Integrand.

Was ich jetzt hier noch nicht verstehe, ist, inwiefern $\begin{eqnarray*} p_N(C_N)=(1/V_N)p_N \end{eqnarray*}$ eine (konstante) Dichtefunktion ist. verwirrt

08.09.2016, 20:21

crazy_enough

Auf diesen Beitrag antworten »

Müsste dann nicht $\begin{eqnarray*} \int_{\Omega_N}p(C_N)\d x^N=1 \end{eqnarray*}$ gelten und somit $\begin{eqnarray*} p_N=1 \end{eqnarray*}$ ?

08.09.2016, 20:26

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{align*} p_N=1 \end{align*}$ würde bedeuten, dass nur diese eine feste Punktanzahl $\begin{align*} N \end{align*}$ in dem Volumen möglich ist. Bei variablen Punktanzahlen hast du aber nur $\begin{align*} p_N\geq 0 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} \sum_{N=0}^{\infty} p_N = 1 \end{align*}$ .

Um beim Beispiel des idealen Gases zu bleiben: Dort ist diese Punktanzahl $\begin{align*} N \end{align*}$ eine poissonverteilte Zufallsgröße.

08.09.2016, 20:33

crazy_enough

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, jetzt ist der groschen gefallen! danke dir!

Der GESAMTE Konfigurationenraum ist sowas wie $\begin{eqnarray*} \Omega:=\bigcup_{N\geq 0}\Omega_N \end{eqnarray*}$ und man ordnet ALLEN N-Konfigurationen die gleiche Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p(C_N)=p_N/V_N \end{eqnarray*}$ zu, dann hat man sowas wie

$\begin{eqnarray*} P(X=n)=P(X\in\Omega_N)=p_N=\int_{\Omega}1_{\Omega_N}p(C_N)\dx^N \end{eqnarray*}$ ,

wobei X jetzt von mir aus eine Zufallsvariable ist, die die Anzahl der Punkte angibt.

Mit anderen Worten: $\begin{eqnarray*} p(C_N) \end{eqnarray*}$ kann als Dichte interpretiert werden, mit der man die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p_N \end{eqnarray*}$ berechnen kann.

Dann ist es aber schon verwirrend, $\begin{eqnarray*} p_N \end{eqnarray*}$ als "distribution function" zu bezeichnen, denn letztlich ist es halt nur eine Wahrscheinlichkeit. Aber da nimmt man es wohl nicht so genau.

Sollte so hoffentlich Sinn machen. smile

09.09.2016, 08:47

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Grunde genommen ja, bis auf diese Symbolkollision:

Zitat:

Original von crazy_enough
$\begin{eqnarray*} P(X=n)=P(X\in\Omega_N)=p_N=\int_{\Omega}1_{\Omega_N}p(C_N)\dx^N \end{eqnarray*}$

Im ersten Term ist $\begin{align*} X \end{align*}$ die Anzahl der Punkte im betreffenden Volumen, im zweiten Term dagegen der Punktkoordinatenvektor - das geht natürlich so nicht. Augenzwinkern

Vermutlich meinst du sowas wie $\begin{eqnarray*} P(N=n)=P(X\in\Omega_n)=p_n=\int_{\Omega}1_{\Omega_n} p(C_n)\dx^n \end{eqnarray*}$ .

09.09.2016, 10:46

crazy_enough

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so macht es natürlich erst Sinn.

Dankeschön Freude

Neue Frage »

Antworten »

"distribution function"?

Verwandte Themen