Untergruppen

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Lisa 123 Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppen
Meine Frage:
Sei G eine Gruppe und U G eine Untergruppe und VU eine Untergruppe.
1. Z.z. V ist Untergruppe von G
2. Es gilt (G:V) = (G:U)(U:V). Leite für eine spezielle Wahl von V den Satz von Lagrange ab.

Tipp: Zerlegen Sie G in Rechtsnebenklassen bzgl. der Translation mit U bzw. V und beobachten Sie wie viele der gV man braucht um eine Nebenklasse gU zu überdecken.

Meine Ideen:
Zunächst dachte ich 1) sei trivial, da V eine Untergruppe ist und Teilmenge von G. Darf man das so sagen?
Ich verstehe den Tipp leider nicht richtig und weiß nicht zu welchem Aufgabenteil er gehören soll.

Und wie soll ich V wählen? Z.B. als Z/2Z? Aber ich weiß doch gar nicht, was U und G ist.

Schon mal danke.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. ist trivial, aber das darf man nur sagen, wenn man die Aussage auch beweisen kann.
Der Tipp kann nur für 2. gelten, denn G kann man nur in Nebenklassen nach V zerlegen, wenn V eine Untergruppe von G ist.

Die Aussagen sollst Du nicht für eine spezielle Gruppe beweisen sondern für alle Gruppen, und das sind ziemlich viele (das sind so viele, dass man nicht von der Menge aller Gruppen sprechen kann sondern nur von der Klasse aller Gruppen).
Lisa 123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok 1 kann ich beweisen, ist aber eben auch trivial.
Bei 2 soll ich doch ein V wählen. Allerdings verstehe ich nicht ganz wie ich das ohne zu speziell zu werden machen kann.
Idee1:
Sei |V|=|U| /4 und dann würde man 4 Rechtsnebenklassen gV brauchen um gU zu überdecken.
Idee 2:
Sei ord(U) =2n
Dann definiert man V z.B. als:
V={uU; s.d. für alle u ord(u) <=2}
Und betrachtet nun die Rechtsnebenklassen
3. Irgendwas ganz anderes?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. Beweise 1
2. a) Beweise unter Benutzung des Hinweises, dass allgemein gilt (G:V)=(G:U)(U:V)
2. b) Wähle eine beliebige Gruppe G, eine beliebige Untergruppe U<G und eine spezielle Untergruppe V<U (V ist nach 1 eine Untergruppe von G) und beweise damit den Satz von Lagrange ( |U| | |G| ) .
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