Normalteiler in Aut (G) |
| 09.09.2016, 00:11 | Alexxxxx | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Normalteiler in Aut (G) Sei f: G -> Aut (G) ein Gruppenhomomorphismus mit f(g) = (h->ghg^(-1)) Z.z. dass das Bild von f Normalteiler in Aut(G) ist. Meine Ideen: Für das Bild gilt ja vom Allgemeinfall übertragen: Für alle h Aut(G) existiert g G sodass f(g) = (h->ghg^(-1)) oder? Allerdings komme ich hier nicht weiter da für den Normalteiler ja gelten soll: h*f(g)*h^(-1))=f(g) Fehlen mir nur Zwischenschritte oder habe ich etwas komplett falsch gemacht? |
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| 09.09.2016, 10:46 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du hast Klein-und Großbuchstaben verwechselt. 
Für den Normalteiler soll gelten h*f(G)h^(-1)=f(G) (für alle h in G)Übrigens hast Du bei der Definition des inneren Automorphismus auch alle Quantoren durcheinander gebracht. |
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| 09.09.2016, 14:24 | Alexxxxx | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok danke schonmal. Allerdings weiß ich nicht genau, was ich sonst noch bei den Quantoren falsch gemacht habe. Meinst du damit es heißt: Für alle gG existiert h Aut(G) sodass... Und wie kann ich von f(g) = (h->ghg^(-1)) auf h*f(G)h^(-1)=f(G) kommen? Darf man das so machen? f(G) = (h->ghg^(-1)) = (f(G) -> g*f(G)*g^(-1)) Und daraus folgt dann (f(G) = g*f(G)*g^(-1))? Was wiederum, die Definition des Normalteilers ist. |
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| 10.09.2016, 11:54 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du hast anscheinend noch nichts verstanden. h ist kein Element von Aut(G) sondern ein Element von G. f liefert für jedes g in G einen Automorphismus, das ist die Konjugation von G mit g, ein sogenannter innerer Automorphismus. Und dann ist zu zeigen, dass die Menge Inn(G) der inneren Automorphismen eine Untergruppe von Aut(G) und insbesondere ein Normalteiler von Aut(G) ist. Wahrscheinlich musst Du dir erst einmal klarmachen, dass f(g) für jedes g in G ein Automorphismus von G ist und dass f ein Homomorphismus von G in Aut(G) ist. |
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