Straff, Definition

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StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »
Straff, Definition
Hallo,
Eine Frage, die beim Lernen aufgekommen ist:

Definition:
Eine Folge von Maßen auf heißt straff, wenn es zu jedem eine kompakte Menge existiert sodass

Meine Frage:
Wenn ich weiß dass es eine Kompakte Menge K gibt sodass . Kann ich dann die Straffheit von der gesamten Folge folgern ? Also reicht die Straffheit ab einen Folgenglied aus?

LG,
MaGi
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Straff, Definition
Für allgemeine Maße ist es falsch, für Wahrscheinlichkeitsmaße um die es hier eigentlich geht, stimmt es.
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
Ich habe mich überlegt, dass für ein Wahrscheinlichkeitsmaß die Straffheit gilt:
Die Kompakte Menge ist eine aufsteigende Folge für :
Aus der Stetigkeit folgt:
D.h. für ein beliebig aber fest finde ich ein
Mache das für und wähle das maximale aus so folgt für
Aber die zwei Kompakten Mengen für für den Index bis und K für die mit größeren Index als N müssn doch nicht gleich sein oder ineinander enthalten?

LG,
MaGi
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man so machen. Etwas abstrakter folgt aus der Stetigkeit, dass für eine Menge existiert s.d. . Da die Vereinigung endlich vieler kompakter Mengen wieder kompakt ist, ist komapkt und aus der Monotonie von Maßen .

Vereinigt man das noch mit der Menge s.d. es für alle anderen Maße eben so gilt, so hat man eine kompakte Menge für alle Maße.
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort,
Bei meinen Beweis sieht man, dass er ohne ein Wahrscheinlichkeitsmaß nicht greift. Aber wo braucht man bei deinem Argument, dass wir ein Wahrscheinlichkeitsmaß haben?

LG,
MaGi
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Um genau zu sein braucht man kein Wahrscheinlichkeitsmaß. Es reicht ein Maß , s.d. für jedes eine kompakte Menge exisitiert, mit . Ein Wahrscheinlichkeitsmaß erfüllt es immer, wie du gezeigt hast.

Es wird sicher lehrreich sein, wenn du dir einfache Beispiele zu den Aussagen überlegst:
-Es gibt ein Maß, s.d. für kein eine entsprechende Menge exisitert.
-Es gibt ein Maß mit und es für die Epsilons das . Sogar: es gibt ein Maß mit s.d. eine kompakte Menge mit existiert.
 
 
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich könnte mir vorstellen,dass du beim ersten das Dirac Maß meinst auf .
Für jede kompakte Menge K existiert eine Zahl sodass da K beschränkt ist als kompakte Menge. Deshalb ist für alle kompakte Mengen K.
Also wäre hier schonmal die Straffheit für falsch.

Ist das Lebesguemaß straff?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Die Folge von Diracmaßen ist ein gutes Beispiel für eine nicht straffe Folge. Allerdings erfüllt jedes einzelne die Bedingung der Existenz der kompakten Menge -- bloss nicht als Kollektiv.

Was ich wollte ist folgende Äquivalenz:

Zu jedem existiere eine kompakte Menge , sodass für alle

ist äquivalent zu:
Es gelten folgende 2 Eigenschaften:
Zu jedem existieren eine kompakte Menge und , sodass für alle
UND
Zu jedem existieren eine Folge kompakter Mengen , sodass für alle (hier darf also die Kompakte Menge von n abhängen).

Wenn ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, so ist die zweite Bedingung automatisch erfüllt, und daher gilt die Äquivalenz in der "einfachen" Formulierung.

Die Beispiele um die ich gebeten habe, sollten die letzte Bedingung etwas untersuchen. Wahrscheinlichkeitsmaße erfüllen sie immer. Trivialerweise erfüllt sie jedes beschränkte Maß, also reicht, die Normierung auf 1 ist nicht nötig.
Das heißt alle Maße, die die Bedingung verletzten, erfüllen . Das erste Beispiel war zu sehen, dass es wirklich so ein Maß gibt, und das zweite Beispiel, dass aber nicht immer die Existenz von ausschließt.
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