Geometrische Verteilung

09.09.2016, 13:15	Millikesse75	Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrische Verteilung Hallo, ich habe Schwierigkeiten mit einer Aufgabe. Kann mir jemand weiterhelfen? Aufgabe: Man bewirbt sich $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -mal und die Wahrscheinlichkeit für eine Einladung zum Gespräch ist $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ . Wie oft muss man sich bewerben, um mindestens einmal eingeladen zu werden? Wie oft muss man sich bewerben, um mindestens 3mal eingeladen zu werden? Ohne das mindestens, dürfte die Aufgabe a) mit folgender Rechnung schnell erledigt sein: $\begin{eqnarray} P(n)=p \cdot q^{n-1} = 1 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ aufgelöst: $\begin{eqnarray} n= \frac{log(1/p) + log(q)}{log(q)} \end{eqnarray}$ Mein Ansatz wäre bei a) mit dem Summenzeichen zu arbeiten: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{n} p \cdot q^{i-1} = 1 \end{eqnarray}$ Bei b) habe ich überhaupt keine Idee ... Danke für eure Hilfe
09.09.2016, 14:03	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Sowohl a) als auch b) sind unpräzise formuliert: Soll das heißen, wie oft man sich im Mittel bewerben muss, oder aber wie oft man sich bewerben muss, damit man mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit mindestens einmal (bzw. bei b) dreimal) eingeladen wird? Denn eine solche Anzahl, mit der man sicher eingeladen wird, gibt es nicht.
10.09.2016, 14:27	Millikesse75	Auf diesen Beitrag antworten »
ich rechne das mal mit beiden durch: a) Wie oft im Mittel für 1 mal Erfolg: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{\infty} i \cdot p \cdot (1-p)^{i-1} = \frac{1}{p} \end{eqnarray}$ a) mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit für 1mal Erfolg: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{n} p \cdot (1-p)^{i-1} = a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1-(1-p)^n = a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=log_{1-p}(1-a) \end{eqnarray}$ b) Wie oft im Mittel um 3 mal Erfolg zu haben: $\begin{eqnarray} (\sum\limits_{i=1}^{\infty} i \cdot p \cdot (1-p)^{i-1})^3 = \frac{1}{p^3} \end{eqnarray}$ b) Wie oft um gegebene Wahrscheinlichkeit mit 3 mal Erfolg zu erreichen: $\begin{eqnarray} (\sum\limits_{i=1}^{n} p \cdot (1-p)^{i-1})^3 = b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1-(1-p)^n = \sqrt[3]{b} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=log_{1-p}(1-\sqrt[3]{b}) \end{eqnarray}$
10.09.2016, 15:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
a) ist richtig. Bei b) ist der Erwartungswert falsch. Die Zufallsgröße des Zeitpunktes des dritten Erfolgs ist negativ binomialverteilt (Variante A) mit $\begin{align} r=3 \end{align}$ sowie deinem $\begin{align} p \end{align}$ . D.h., der Erwartungswert ist $\begin{align} \frac{3}{p} \end{align}$ . Man kann es auch so erklären: Das setzt sich zusammen aus drei Phasen bis zur ersten, zweiten sowie dritten Einladung. Alle drei Phasen sind im Mittel so lang, wie bei a) berechnet, damit ist die mittlere Gesamtdauer genau dreimal so lang. Über die Wahrscheinlichkeit ist das hier wesentlich komplizierter: n Bewerbungen reichen mit Wahrscheinlichkeit $\begin{align} P(X\leq n) = \sum_{k=r}^n \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r} = \sum_{k=3}^n \binom{k-1}{2} p^3 (1-p)^{k-3} = 1 - \left( \binom{n-1}{2}p^2 + (n-2)p + 1 \right)(1-p)^{n-2} \end{align}$ . Bei gegebener Wahrscheinlichkeit $\begin{align} a \end{align}$ lässt sich das passende $\begin{align} n \end{align}$ wohl nur auf iterative Weise ermitteln.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »