Fast sichere Konvergenz - richtig so?

09.09.2016, 15:19	Mathelover	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast sichere Konvergenz - richtig so? Hallo zusammen, kann mir bitte jemand sagen ob meine Lösung richtig ist. Es seien ( $\begin{eqnarray} \Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P} \end{eqnarray}$ ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und $\begin{eqnarray} X,X_1,X_2 \end{eqnarray}$ reele Zufallsvariablen auf $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: Aus $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(\|X_n-X\|>\epsilon) < \infty \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} X_n \overset{f.s}{\to}X \end{eqnarray}$ Hinweis: Borell-Cantelli Meine Lösung: Mit Borell-Cantelli folgt aus $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(\|X_n-X\|>\epsilon) < \infty \end{eqnarray}$ gerade: $\begin{eqnarray} \mathbb{P}(\lim_{n \to \infty} \sup\|X_n-X\|>\epsilon) = 0 <br /> \end{eqnarray}$ Dann folgt doch mit der dominierten Konvergenz gerade: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}( \sup\|X_n-X\|>\epsilon) = 0 \end{eqnarray}$ Und damit die Behauptung.

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