Surjektivität von sin(x)

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PhillyMathe Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektivität von sin(x)
Meine Frage:
Hi, meine Frage ist ob die Funktion.
R->R, x-> sin(x) injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.

Es wäre nett, wenn ihr die Vorgehensweise meiner Prüfung der Injektivität überprüfen könntet.

Bei der Surjektivität bin ich mir nicht ganz sicher.

Meine Ideen:
Also z.Z. für Injektivität:
Für f: M-> N f(m) = f(m') für m,m' e M folgt m = m'

also f: R->R f(x) = f(x') für x,x' e R folgt x = x'
sin(x) = sin(x') => x = x'

sei x = pi und x'=3pi dann 0 = 0 => pi = 3 pi => keine Injektivität.


z.Z. R->R, x-> sin(x) ist surjektiv.

Also: f: M -> N
f ist surjektiv, genau dann wenn es zu jedem n e N ein m e M gibt mit f(m) = n

also f:R -> R , x-> sin(x) ist nicht surjektiv, da für 2 e R kein x' e R existiert, so dass sin(x) = 2.

-> damit auch nicht bijektiv, da nicht injektiv oder surjektiv,


p.s. nehme ich an dass f: R -> [-1,1] , dann ist x -> sin(x) surjektiv oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Überlegungen stimmen. Allerdings ist dein Aufschrieb nicht klar genug. Gehe, sobald du eine Aufgabe gelöst hast, alles noch einmal durch und laß Zwischenüberlegungen und Ab- und Umwege, die dir zur Vergewisserung dienten und beim Lösen durchaus wichtig waren, weg. Konzentriere dich auf das eigentliche Argument.

Was brauchst du zum Widerlegen der Injektivität nur zu sagen?
 
 
PhillyMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort


Sei x1 = pi => f(x1) = 0
Sei x2 = 3pi = > f(x2) = 0

aus f(x1) = f(x2) folgt nicht x1=x2 => nicht injektiv.

Genügt das?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Noch klarer:

, obwohl
Also ist nicht injektiv.

Die Einführung von und ist überflüssig. Du könntest daher noch kürzer sagen:


Also ist nicht injektiv.

Daß du weißt, daß und nicht dasselbe ist, glaubt man dir. Augenzwinkern
PhillyMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen.

Ich versuche das Gelernte nun auf meine Übungsaufgaben anzuwenden:

[attach]42581[/attach] entfernen

(a)
f(2,1) = f(4,2). Also ist f nicht injektiv.
2x-y = y => x=y => surjektiv

(b)
injektiv da kein m,m' e {1,2,3} exisitiert für das f(m) = f(m')
surjektiv da {1,2,3} = {1,2,3}
also bijektiv da injektiv + surjektiv

(c) bereits erledigt

(d) f((x1,y1)) = f((x2,y2))
=> (-y1,x1) = (-y2,x2) => -y1 = -y2 und x1 = x2 => y1 = y2 und x1 = x2
also injektiv.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

(a)
Das Beispiel zur Nichtinjektivität bitte noch einmal nachrechnen.
Zur Surjektivität: Ich weiß, was du sagen willst. Aber so kann man das nicht aufschreiben. Ich würde vorschlagen: Ist gegeben, so gilt . Also ist surjektiv.

(b)
Daß ist, ist eine Trivialität. Worin aber besteht der Zusammenhang mit der Aufgabe? In deiner Aussage kommt nirgendwo vor. Vielleicht meinst du Folgendes: . Also ist surjektiv.

(d)
Injektivität paßt. Man könnte höchstens noch ergänzen:
Surjektivität fehlt.
PhillyMathe Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, danke dir.
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