Weg-Integral berechnen

09.09.2016, 17:25

Jarra

Weg-Integral berechnen

Ich würde gerne wissen wie ich prinziell dieses Weg-Integral, welche im Anhang dargestellt ist, löse.
Leider finde ich nicht sehr viel dazu. Oft wird das ds durch x`*dt ersetzt. Oder es wird für die Integrationsgrenzen eine Zeit eingesetzt, obwohl keine Zeit gegeben ist und eine Zeit meiner Meinung nach für eine verrichtete Arbeit vollkommen egal ist ?!

Meine Überlegungen:
Prinzipiell würde ich sagen, dass Arbeit = Kraft*Weg ist. Ich spanne also zwischen der Kraft und dem Weg eine Fläche auf. Ist die Kraft konstant, kann ich ganz einfach rechnen. Ändert sich die Kraft mit dem Weg, muss ich integrieren. Ich würde jetzt sagen, dass man die Änderung der Kraft mit dem Weg je mit einer Funktion angeben könnte. Also z.B. folgendermaßen:

F(x) = x^2+x+1
F(y) = 4y-5
F(z)= z

Das heißt ich wüsste wie sich die Kraft in jede Richtung hin ändert. Dann könnte ich doch ganz einfach jede Funktion für sich integrieren und später die Beträge der Arbeiten miteinander addieren und müsste die gesamte verrichtete Arbeite erhalten, richtig? Als Integrationsgrenzen würden mir dann die zwei Gegebenen Punkte dienen.

Leider verstehe ich nicht, wieso in der Matrix Funktionen mit drei verschiedenen Variablen stehen.
Also x+y+cos(z) z.B. was sagt mir das? Außerdem wird in einigen Erklärungen immer das Kreuzprodukt angewandt.

09.09.2016, 17:52

Mulder

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RE: Weg-Integral berechnen

Zitat:

Original von Jarra
Das heißt ich wüsste wie sich die Kraft in jede Richtung hin ändert. Dann könnte ich doch ganz einfach jede Funktion für sich integrieren und später die Beträge der Arbeiten miteinander addieren und müsste die gesamte verrichtete Arbeite erhalten, richtig? Als Integrationsgrenzen würden mir dann die zwei Gegebenen Punkte dienen.

Nein. Wer sagt denn, dass der Wert des Integrals nicht vom Integrationsweg abhängt? Unter bestimmten Voraussetzungen ist das so, aber das kann man nicht einfach so annehmen.

Du musst erst einmal den Weg parametrisieren. Wikipedia: Parameterdarstellung

Ich geb dir mal ein Beispiel. Angenommen, wir haben die beiden Punkte (0,0) und (2,1) (ich bin jetzt im zweidimensionalen). Dieses Wegstück wollen wir parametrisieren. Wird aussehen wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \gamma(t) = \begin{pmatrix} 2t \\ t \end{pmatrix} \quad , \quad 0 \leq t \leq 1 \end{eqnarray*}$

Diese Kurve, die nur durch diesen einen Parameter t beschrieben wird, stellt eine Gerade dar, die durch die beiden genannten Punkte läuft. Übertrage das auf dein Beispiel. Ist manchmal ein bisschen rumbasteln, aber meistens wohl machbar. Es gibt da auch in aller Regel nicht nur die eine Parametrisierung, sondern beliebig viele. Du musst nur eine finden, die passt.

Hast du diese Kurve, ist der Rest nur noch stures Einsetzen und Ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{\text{Weg}} \vec F(x,y,z) \, \dd s = \int\limits_a^b F(\gamma(t))) \cdot \gamma'(t) \, \dd t \end{eqnarray*}$

wenn $\begin{eqnarray*} \gamma(t) \end{eqnarray*}$ deine Kurve ist und $\begin{eqnarray*} t \in [a,b] \end{eqnarray*}$ . Bei meinem Beispiel oben wären die Integrationsgrenzen eben 0 und 1 gewesen.

Für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ setzt du dann in $\begin{eqnarray*} \vec F \end{eqnarray*}$ einfach die x-Komponente von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ein, für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ die y-Komponente von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ die z-Komponente von $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ . Skalarprodukt bilden, integrieren, fertig.

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