Erwartungswert, Konvergenz in Wahrscheinlichkeit

09.09.2016, 17:34	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert, Konvergenz in Wahrscheinlichkeit Es seien $\begin{eqnarray} X_n, X \end{eqnarray}$ Zufallsvariablen auf einen Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray} (\Omega, \mathcal{A}, P). \end{eqnarray}$ Zeige: Falls $\begin{eqnarray} X_n \rightarrow X \end{eqnarray}$ in Wahrscheinlichkeit, dann gilt $\begin{eqnarray} E(f(X_n)) \rightarrow E(f(X)) \end{eqnarray}$ für jede gleichmäßig stetige beschränkte Funktion f. Hallo, Sei $\begin{eqnarray} A:= sup_{x \in \mathbb{R}} f(x)< \infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|E(f(X_n))-E(f(X))\|=\|E(f(x_n)- f(X))\| \le E(\|f(X_n)-f(X)\|) \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ beliebig und $\begin{eqnarray} \delta>0: \forall x,y \in \mathbb{R}: \|x-y\|<\delta \rightarrow \|f(x)-f(y)\|<\epsilon \end{eqnarray}$ Ich hätte noch die Idee, das aufzuspalten in: $\begin{eqnarray} E(\|f(X_n)-f(X)\|) = E(\|f(X_n)-f(X)\|1_{\|X_n-X\|\le \delta})+ E(\|f(X_n)-f(X)\|1_{\|X_n-X\| > \delta}) \le \epsilonE(1_{\|X_n-X\|\le \delta}) + 2AE(1_{\|X_n-X\| > \delta})= \epsilon P(\|X_n-X\|\le \delta) + 2A P(\|X_n-X\| >\delta) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \epsilon (1- P(\|(x_n-X\| > \delta) + 2A* P(\|X_n-X\|>\delta) \le \epsilon+ 2A* P(\|X_n-X\|>\delta) \end{eqnarray}$ Ich weiß,dass $\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow \infty} P(\|X_n-X\|>\delta)=0 \end{eqnarray}$ als definition der stochastischen Konvergenz Also $\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow \infty}\|E(f(X_n))-E(f(X))\| \le \epsilon \end{eqnarray}$ 1) Ist das erstmals korrekt? 2) Was meint man mit $\begin{eqnarray} E(f(X_n)) \rightarrow E(f(X)) \end{eqnarray}$ ? Die Konvergenz wie in der klassischen Analysis oder auch die schwache konvergenz?? Weil für die schwache Konvergenz müsste ich mir ja $\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow \infty} P(\|E(f(X_n))-E(f(X))\|>\epsilon) \end{eqnarray*}$ anschauen. Mir ist demnach nicht ganz klar, was ich zeigen soll.. LG, MaGi

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